Ho una domanda sul modello Black Model del 1976 e sul modello Bachelier.
So che un moto browniano geometrico nella misura P $ dS_ {t} = \ mu S_ {t} dt + \ sigma S_ {t} dW_ {t} ^ {P} $ per un prezzo delle azioni $ S_ {t} $ conduce (dopo un cambio di misura) al nero- Formula di Scholes per una chiamata:
$$ C = S_ {0} N (d_ {1}) – Ke ^ {- rT} N (d_ {2}) $$.
Dove $ d_ {1} = \ frac {ln (\ frac {S_ {0}} {K}) + (r + \ frac {1} {2} \ sigma ^ {2}) T} {\ sigma \ sqrt {T}} $ e $ d_ {2} = d_ {1} – \ sigma \ sqrt {T} $
In realtà non so come sia possibile ottenere la famosa formula nera un contratto a termine:
$$ C = e ^ {- rT} (FN (d_ {1}) – KN (d_ {2})) $$.
dove ora $ d_ {1} = \ frac {ln (\ frac {F} {K}) + \ frac {1} {2} \ sigma ^ {2} T} {\ sigma \ sqrt {T}} $ e $ d_ {2} = d_ {1} – \ sigma \ sqrt {T} $
Devo semplicemente inserire $ F (0, T) = S_ {0} e ^ {rT} $ nel primo BS formula per ottenere il secondo?
Lo sto chiedendo perché ho provato a derivare la formula BS usando un moto browniano aritmetico come $ dS_ {t} = \ mu dt + \ sigma dW_ {t} ^ {P} $, a nd ottengo:
$$ C = S_ {0} N (d) + e ^ {- rT} [v n (d) -K N (d)] $$.
dove $ d = \ frac {S_ {0} e ^ {rT} -K} {v} $ e $ v = e ^ {rT} \ sigma \ sqrt {\ frac {1-e ^ {- 2rT}} {2r}} $ e ricordando che $ N (d) $ e $ n (d) $ sono CDF e PDF.
ma la precedente sostituzione $ F (0, T ) = S_ {0} e ^ {rT} $ non sembra portare al risultato noto $ C = e ^ {- rT} [(FK) N (d) – \ sigma \ sqrt {T} n (d )] $
dove ora $ d = \ frac {FK} {\ sigma \ sqrt {T}} $
Penso di poter raggiungere le equazioni in avanti sia nel campo geometrico moto browniano e moto browniano aritmetico usando le equazioni
$ dF = F \ sigma dW_ {t} ^ {Q} $ e $ dF = \ sigma dW_ {t} ^ {Q} $ ma non lo faccio ” Non so come giustificarne luso.
Commenti
- @Macro Benvenuto in Quant. S.E.! Vuoi stabilire il prezzo del contratto forward o dellopzione sul contratto forward?
- Ciao Neeraj, grazie per la tua risposta. Vorrei ‘ valutare unopzione sul contratto a termine!
- Sostituisci $ S_0 $ con $ F e ^ {- rT} $ nella formula BS originale oppure puoi utilizzare un approccio neutrale al rischio. Entrambi porteranno alla stessa formula di valutazione.
- Ok, grazie. Ma posso fare lo stesso per lABM? Perché non posso ‘ ottenere il risultato quando eseguo questa sostituzione.
Risposta
Opzione europea sul futuro
Per valutare lopzione europea sul futuro, è sufficiente sostituire $ S_0 $ con $ Fe ^ {- rT} $ nella tua formula BS originale oppure puoi utilizzare un approccio neutrale al rischio. Entrambi porteranno alla stessa formula di valutazione.
Opzione americana sul futuro
La procedura sopra riportata non può essere utilizzata per valutare lopzione americana sul futuro. In un documento, La valutazione delle opzioni su contratti futuri da parte di Ramaswamy , affermava che
Non sono note soluzioni analitiche per la valutazione dellopzione americana su contratti future.
Gli autori hanno utilizzato il metodo della differenza finita implicita per valutare lopzione americana sul contratto futuro.
Modifica: derivazione del prezzo dellopzione europea su contratto future
In misura neutra al rischio, prezzo futuro, $ F_t $ soddisfa il seguente SDE: $$ dF_t = \ sigma F_t dW_t $$ dove, $ W_t $ è un processo Wiener. Si può facilmente dimostrare che: $$ F_T | F_t = F_t e ^ {- \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 (Tt) + \ sigma (W_T- W_t )} $$ $$ F_T | F_t \ sim logN \ left (ln (F_t) – \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2 (Tt), \ sigma ^ 2 (Tt) \ right) $$
Il prezzo dellopzione sul contratto futuro $ (C_t) $ sotto la misura neutra al rischio è: $$ C_t = e ^ {- r (Tt)} E_ \ mathbb {Q} [(F_T – K) ^ +] $$
Puoi facilmente risolvere lespressione sopra per ottenere il prezzo dellopzione scritto in futuro. La distribuzione di $ F_T $ è molto simile a $ S_T $ (vedi questa risposta) . Se sostituisci $$ ln (F_t) = ln (S_t) + r (Tt) $$ , otterrai la stessa distribuzione di $ S_T $ come misura neutra rispetto al rischio. Questo è il motivo, per ottenere il prezzo dellopzione in futuro, sostituiamo $ S_t $ con $ F_t e ^ {- r (Tt)} $ nel modello BS del prezzo dellopzione call europea.
Commenti
- Ciao Neeraj, in realtà io ‘ Vorrei quotare unopzione europea a partire da un ABM.
- @Marco, controlla la risposta in modifica.
Rispondi
Questo è un modo semplice per ottenere il prezzo della call sul prezzo a termine utilizzando un prezzo neutrale al rischio.
Supponiamo di avere una chiamata europea che paga a $ t = T $ , $ (For ( T, T ^ *) – K) ^ + $ , dove $ T ^ * \ geq T $ . Supponiamo inoltre che i tassi di interesse siano costanti e siano rappresentati da “ $ r $ “. Sia $ c ^ {For} (t, s) $ il prezzo della chiamata dove $ S (t) = s $ .
Quindi, se lazione non paga dividendi:
$ c ^ {For} (t, s) = \ widetilde {\ mathbb { E}} [e ^ {- r (Tt)} (For (T, T ^ *) – K) ^ + | S (t) = s] $ , Per replica può essere mostrato, $ For (T, T ^ *) = S (T) e ^ {r (T * – T)} $ e
$ c ^ {For} (t, s) = \ widetilde {\ mathbb {E}} [e ^ {- r (Tt)} (S (T) e ^ {r (T * – T)} – K) ^ + | S (t) = s] $
Dovresti immediatamente notare poiché i tassi di interesse sono costanti e quindi deterministici, possiamo tirare la matematica “ $ e ^ {r (T ^ * – T)} $ ” termine fuori dalle aspettative:
$ c ^ { Per} (t, s) = e ^ {r (T * – T)} \ widetilde {\ mathbb {E}} [e ^ {- r (Tt)} (S (T) – e ^ {- r ( T * – T)} K) ^ + | S (t) = s] $
Quindi questo è ora proporzionale al prezzo della chiamata di Black Scholes con strike $ X = e ^ {- r (T * – T)} K $
$ c ^ {For} (t, s) = e ^ {r (T * – T)} c ^ {BS} (t, s | X = e ^ {r (T * – T) K} $ ) $ c ^ {For} (t, s) = e ^ {r (T ^ * – T)} [SN (d_ +) – e ^ {- r (Tt)} e ^ {- r (T * – T)} KN (d _-)] $ $ c ^ {For} (t, s) = e ^ {r (T ^ * – T )} [SN (d_ +) – e ^ {- r (T * – t)} KN (d _-)] $
$ c ^ {For } (t, s) = e ^ {- r (T – t)} (FN (d_ +) – KN (d _-)) $ , dove $ F = Se ^ {r (T ^ * – t)} $
anche:
$ d _ {\ pm} = \ frac { 1} {\ sigma \ sqrt {Tt}} [ln (\ frac {S} {K}) + (r \ pm \ frac {1} {2} \ sigma ^ 2) (Tt)] $
Questa è la “famosa formula nera su un contratto a termine”. Spero che questo aiuti!
Tieni presente che il prezzo a termine e il prezzo del contratto a termine non sono gli stessi. Il prezzo del contratto a termine al tempo 0 è 0, ma può cambiare, il prezzo a termine è il prezzo che accetti di pagare alla consegna.
Se sei curioso di sapere cosa sarebbe se fosse una chiamata il prezzo dei futures invece di una chiamata sul prezzo a termine, pretendo che se il prezzo dellasset non è correlato al tasso di interesse, allora sono gli stessi altrimenti ci sarebbe un arbitraggio (in ipotesi di assenza di rischio di controparte, ecc.) Ti incoraggio a provare a dimostrarlo.
(PS Alla precedente risposta dei commentatori sulla mancanza di una formula per unopzione americana sul prezzo a termine, questo non ci impedisce di utilizzare Monte Carlo!)