Come può 64 = 65?

Questo è un famoso puzzle fisico che può essere collegato al serie fibonacci .

Per rispondere alla domanda così come posta, il problema è che le due piste sono diverse ( $ \ frac25 $ vs $ \ frac38 $ ). Nota che tutti questi numeri sono nella serie di fibonacci ( $ 1,1,2,3,5,8,13,21, \ ldots $ ).

Le frazioni successive sono approssimazioni più vicine a $ \ varphi $ , alternando tra sopra e sotto. Diagrammi come questo possono essere generati realizzando un quadrato con lati uguali a un numero nella serie di fibonacci (in questa domanda 8), poi dividendolo in due rettangoli con larghezze dei due numeri di fibonacci che compongono il primo scelto (3 e 5).

Taglia il più piccolo lungo la diagonale e taglia quello più grande al centro in diagonale, in modo che la larghezza del taglio diagonale sia il numero più piccolo successivo (2 in questo caso). Nota che questo lascerà un trapezio, la cui piccola dimensione parallela corrisponde al lato più piccolo del rettangolo piccolo originale (3 in questo caso) e la cui dimensione parallela maggiore corrisponde al lato più piccolo del rettangolo più grande originale (5 in questo caso).

Poiché $ \ frac25 \ approx \ frac38 $ e dalle costruzioni precedenti, i pezzi possono essere riorganizzati in un rettangolo (come mostrato), il area della quale sarà sempre una distanza dal quadrato originale, ma apparirà approssimativamente corretta, poiché le pendenze quasi corrispondono.

Modifica: poiché questa risposta ha ricevuto così tanti voti positivi (grazie!), ho supponiamo che le persone siano molto interessate, quindi ho pensato di “disegnare alcune immagini!

1,1,2,3 : $ 3 \ times3 = 9 = 10 = 2 \ times5 $

1,2, 3,5: $ 5 \ times5 = 25 = 24 = 3 \ times8 $

2,3,5,8: $ 8 \ times8 = 64 = 65 = 5 \ times13 $ (lesempio dellOP)

3,5,8,13 : $ 13 \ times13 = 169 = 168 = 8 \ times21 $

5,8,13,21: $ 21 \ times21 = 441 = 442 = 13 \ times34 $

Un commento di @EricJ . ha suggerito una discussione che potrebbe valere la pena portare qui:

Non sto affermando che tutti questi enigmi siano basati sulla serie di Fibonacci. Solo che tutti i numeri di Fibonacci possono generare questi diagrammi. Ci sono diverse caratteristiche di Fibonacci numeri che fanno funzionare questo.

1. Uno è che il quadrato di un numero di Fibonacci si alterna tra lessere uno in più e uno in meno rispetto al prodotto dei numeri su entrambi i lati.
2. Cè la cosa della pendenza che ho già menzionato, il che significa che la nostra costruzione ci darà due pendenze approssimativamente uguali. E
3. Cè un argomento secondo cui la costruzione complessiva può essere fatta in base al fatto che ciascun numero sia la somma dei due precedenti.

Gli ultimi due punti possono essere meglio compreso studiando la costruzione in dettaglio. Il primo punto può essere dimostrato per induzione:

RTP : $ f_k ^ 2 = f_ {k-1} f_ {k + 1} \ pm1 $ per $ k \ geq1 $

Stiamo “reindicizzando in modo che $ f_0 = 0 $ e $ f_1 = 1 $ .

Passaggio 1 : $ k = 1 $ : $ f_1 ^ 2 = f_0f_2 + 1 $ può essere verificato mediante sostituzione.

Passaggio 2 : supponi che sia vero per $ k $ . Quindi $ f_k ^ 2 = f_ {k-1} f_ {k + 1} \ mp1 $ . (Io” sto usando $ \ mp1 $ perché mi aspetto che si alternerà, quindi nel passaggio 3 lo proverò per $ \ pm1 $ )

Passaggio 3 : dobbiamo mostrare che $ f_ {k + 1} ^ 2 = f_ { k} f_ {k + 2} \ pm1 $ . Quindi ecco:

\ begin {eqnarray} f_ {k} f_ {k + 2} \ pm1 & = & f_ {k} (f_ {k} + f_ {k + 1}) \ pm1 \\ & = & f_ {k} ^ 2 + f_kf_ {k + 1} \ pm1 \\ & = & (f_ {k-1} f_ {k + 1} \ mp1) + f_kf_ {k + 1} \ pm1 \\ & = & f_ {k + 1} (f_ {k-1} + f_ {k}) \\ & = & f_ {k + 1} (f_ {k + 1}) \\ & = & f_ {k + 1} ^ 2 \ end {eqnarray}

Ho usato due volte la definizione della serie di Fibonacci ( $ f_ {k + 2} = f_k + f_ {k + 1} $ e $ f_ {k-1} + f_k = f_ {k + 1} $ ) e il presupposto del passaggio 2.

Ciò significa che quando esegui la costruzione di cui sopra le aree differiranno sempre solo di 1 (alternandosi sopra e sotto ogni volta).

Commenti

• Ecc risposta eccellente! ‘ ho familiarità con questi enigmi ma non ho mai sentito parlare della connessione di Fibonacci. In effetti, ‘ non avevo nemmeno realizzato che esistesse un algoritmo per generare tali forme.
• Questo è il motivo per cui non mi fido mai di ” dimostrazione tramite ” immagini su math.stackexchange.com .
• Dopo aver visto questa domanda ho capito perché la mia Ferrari 488 che viaggiava nel tempo più veloce della luce non ‘ t abbastanza funzionante (voglio dire, ‘ sarei andato indietro nel tempo più veloce della luce, ok, ma continuava a tornare come una Ford Fiesta!) E io ‘ avevo appena finito aggiustandolo e avviandolo in un test quando ho letto questa stupida risposta! E POI la Ferrari è tornata – ma questa volta è tornata come una bicicletta CON UN DINOSAURO A GUIDARLA! Quindi, OK, ho preso a pugni il dinosauro (il suo nome ‘ s Fred, BTW – bravo ragazzo. Divertente vecchia cosa ‘, la vita .. .) con una padella, e ora ‘ rimetto a posto il motore FTL. Quindi ‘ e nuttin ‘ !! 🙂
• Penso che ‘ stia solo dicendo che stava facendo qualcosa di impossibile e ora può ‘ non più perché è stato dimostrato che ‘ è impossibile. Quello che ‘ non ottengo è perché così tanti voti positivi? Voglio dire, pensavo di essere intelligente, ma non così intelligente!
• Oh, sì? BENE! Ho appena votato la tua risposta, solo per renderla pari a 100! COSÌ QUI !!!! 🙂 (E per inciso a @ghosts_in_the_code – Non ‘ stavo davvero dicendo che questa risposta è stupida – Lho chiamato ” stupido ” in senso ironico che significa ” La risposta mi ha smentito! Che risposta stupida! ” – cioè io ‘ sono il vero manichino qui. Speriamo che ‘ stiamo bene ora …) . Il mio commento è in realtà un omaggio a tre film: Ritorno al futuro, ET e Caddyshack. E la trilogia della ‘ Guida alla galassia di Hitchiker: tutti e cinque i libri. 🙂

Il diagramma è fuorviante , poiché nasconde uno spazio vuoto nel mezzo della seconda configurazione.

Questo è ciò che otteniamo effettivamente se riorganizziamo le forme in questione. Si noti che la diagonale si “piega” leggermente, lasciando un po di spazio in più tra le forme: è qui che si insinua lunità extra di area.

Ma non dovresti fidarti più di me che della persona che ha disegnato limmagine originale!

Come vediamo qui, le immagini possono essere fuorvianti, quindi il mio diagramma non è la prova che il lo schema originale era sbagliato. Questo dà solo un senso intuitivo di dove proviene lo spazio extra.

Per una dimostrazione adeguata, considera i gradienti:

• Il gradiente del trapezio blu è $ 5/2 = 2,5 $
• Il gradiente del trapezio triangolo rosso è $ 8/3 = 2.666 … $

Poiché i gradienti non corrispondono, non possiamo disporli uno accanto allaltro in questo modo senza uno spazio vuoto tra di loro . Ma poiché sono vicini, locchio può essere indotto a pensare che formino ununica linea continua e non si accorge che la pendenza del triangolo cambia a metà.

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• Adoro questi enigmi: cè ‘ una buona morale filosofica di non accettare le cose mentre ‘ vengono presentate a te.

Limmagine a destra imbroglia : i pezzi in realtà non combaciano perfettamente, cè un divario in mezzo. Per dimostrarlo, possiamo calcolare la dimensione del gap, calcolando la dimensione di un triangolo, formato da:

• il lato più lungo del triangolo giallo: $ a = \ sqrt {3 ^ 2 + 8 ^ 2} $
• il lato inclinato del trapezio: $ b = \ sqrt {2 ^ 2 + 5 ^ 2} $
• la diagonale del rettangolo sul a destra: $ c = \ sqrt {5 ^ 2 + 13 ^ 2} $

Larea di questo triangolo può essere calcolata utilizzando la formula di Heron:

$ $ A = \ sqrt {s (sa) (sb) (sc)} $$

dove

$$ s = \ frac {1} {2} (a + b + c) $$

Sostituendo i valori nella formula si ottiene esattamente 0,5 per $ A $. Esistono due triangoli di questo tipo, in modo che “sa total 1 = la discrepanza attesa.

È “un diagramma fuorviante. In realtà, gli angoli non corrispondono: langolo interno più grande del triangolo arancione è di circa 69,5 gradi, mentre è 68,2 per il quadrilatero grigio. (Correggimi se sbaglio, spolverare il trigonometro qui.) Nel diagramma con larea 65, le aree arancioni sono in realtà quadrilateri. Se guardi da vicino, puoi vedere che hanno una leggera inflessione nel punto in cui incontrano laltra arancione sezione. Quindi quellarea extra deriva dallespansione di un po .

I triangoli non hanno la stessa pendenza ; puoi vedere che la grande linea diagonale che attraversa il rettangolo “più grande” si piega. È coperto dalle linee spesse attorno ai triangoli, ma cè un foro molto sottile che ha unarea totale di un quadrato – lo stesso quadrato che si suppone “sia apparso dal nulla”.

Basta ingrandire limmagine e “ll vedere la risposta.

Risposta semplice :

Quelle forme (in arancione) sul lato destro dellimmagine non sono affatto triangoli! sono due quadrilateri. quindi hanno unarea maggiore di quella visivamente prevista. quindi non cè equità qui. Sono diversi e quindi hanno unarea totale diversa.

Limmagine del rettangolo inferiore è fuorviante, perché inganna le persone assumendo erroneamente che la larghezza dei triangoli sia esattamente 3 unità.

La larghezza reale può essere facilmente calcolata: “è una frazione della larghezza totale, definita dallaltezza del punto sulla diagonale, oppure esattamente l8 / 13 di 5, cioè 3.076923077 (e non 3), qed

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• Secondo la dichiarazione del puzzle, i triangoli in entrambi i diagrammi sono identici e la forma dei triangoli è definita nella configurazione 8×8 per essere esattamente tre unità per otto unità. Lerrore è ben illustrato in alexwlchan ‘ è spiegata matematicamente in molti altri: i pezzi non ‘ in realtà si adattano insieme nella configurazione 5×13. Lì ‘ un sottile spazio trapezoidale tra di loro, che è nascosta dalla linea diagonale spessa, nera e non proprio diritta tracciata nellillustrazione originale 5×13.