Come può larea essere un vettore?

Questa potrebbe essere più una domanda di matematica . Questa è una cosa peculiare dello spazio tridimensionale. Notare che in tre dimensioni, unarea come un piano è un sottospazio bidimensionale. Su un foglio di carta hai solo bisogno di due numeri per denotare in modo univoco un punto.

Ora immagina di stare sul foglio di carta, la direzione verso la tua testa sarà sempre un modo per sapere come è orientato questo piano nello spazio. Questo è chiamato il vettore “normale” a questo piano, è ad angolo retto rispetto al piano.

Se ora scegli la convenzione per avere la lunghezza di questo vettore normale uguale allarea di questa superficie , ottieni una descrizione completa del piano bidimensionale, il suo orientamento nello spazio tridimensionale (la parte vettoriale) e quanto è grande questo piano (la lunghezza di questo vettore).

Matematicamente, puoi esprimerlo dal “prodotto incrociato” $$ \ vec c = \ vec a \ times \ vec b $$ la cui grandezza è definita come $ | c | = | a || b | sin \ theta $ che è uguale allarea del parallelogramma quelli ai vettori (che definiscono realmente un piano) span. Per rubare questa immagine dallarticolo di wikipedia sul prodotto incrociato:

Come ho detto allinizio questa è una cosa molto speciale per le tre dimensioni, nelle dimensioni superiori, non funziona così bene per vari motivi. Se desideri saperne di più su questo argomento, una parola chiave potrebbe essere “algebra esterna”

Aggiorna:

Per quanto riguarda il significato fisico di questo concetto, esempi importanti sono i campi vettoriali che fluiscono attraverso le superfici. Prendi un filo circolare. Questo cerchio può essere orientato in vari modi in 3D. Se hai un campo magnetico esterno, potresti sapere che questo può indurre una corrente elettrica, proporzionale alla velocità di variazione della quantità che scorre attraverso il cerchio (pensa a quanto le frecce perforano larea). Se i vettori del campo magnetico sono paralleli al cerchio (e quindi ortogonali al suo vettore normale) non “perforano” affatto larea, quindi il flusso attraverso questarea è zero.Daltra parte, se i vettori di campo sono ortogonali al piano (cioè paralleli alla normale), il massimo “perfora” questarea e il flusso è massimo.

se cambi lorientamento tra quelli si possono ottenere due stati di corrente elettrica.

Commenti

• +1 per la menzione dei campi magnetici. Non tutti i vettori di superficie utilizzati in fisica sono differenziali.
• Grazie. Solo pochi chiarimenti. Mi hai chiesto di immaginare una persona in piedi su un foglio & considerare la direzione della sua testa come rappresentante del vettore normale. Ma supponiamo che questa persona si trovasse sulla faccia esattamente opposta, allora ‘ lorientamento del foglio rimane lo stesso? Ma ora la direzione del vettore è nella direzione opposta. Per favore, chiarisci.
• In secondo luogo, hai detto che questo concetto ‘ non funziona così bene nelle dimensioni superiori. Quindi questo significa che la mia domanda sulla direzione dellarea di una ‘ s non è valida? Se è così allora larea è uno scalare in questo caso particolare poiché considerarla come un vettore non può specificare il suo orientamento nello spazio?
• cosa ‘ ti impedisce di essere soddisfatto ?
• ‘ non è soddisfacente perché sebbene axb sia un vettore, | axb |, cioè larea, è uno scalare, quindi non convince che larea sia un vettore.

Il principale regime di utilizzo è quando unarea è infinitamente piccola, come si farebbe utilizzare in un integrale. In tal caso, possiamo facilmente vedere che è piatta e la forma non ha importanza. In tal caso, possiamo codificare linformazione come un vettore, con la grandezza che rappresenta larea (scalare); la scelta (come tu notato) di indicare un dato lato è esattamente questa — una scelta — ma che può essere fatta in modo coerente. Possiamo estenderla a piani non infinitesimali, ma non funziona bene per le superfici curve.

Per essere precisi, quello che vuoi veramente è un co-vettore . Questo è un gadget astratto che prende un vettore e sputa uno scalare. Per un piano, vuoi che questo rappresenti la “quantità” del vettore che passa attraverso il piano — quindi dovrebbe essere lineare nel vettore (raddoppiando il vettore si raddoppia loutput) e dovrebbe prendere in considerazione langolo al quale il vettore lo colpisce (fornisce un fattore di $ \ cos $). Ora possiamo chiederci come rappresentare questo co-vettore astratto, e si scopre che un vettore è una buona idea! Nello specifico, possiamo rappresentare lazione prendendo il prodotto scalare, che codifica naturalmente la linearità e il coseno. Ora, in generale, questo ha lo stesso numero di dimensioni di un vettore appropriato, ma codifica solo unarea (una superficie 2D) in 3D — in 2D si otterrebbe una linea, in 4D un volume (sì! Un 4-vettore interseca un volume in un punto!).

Se vuoi saperne di più su questo genere di cose, vuoi studiare la geometria differenziale, dove tutto ciò che è necessario per essere chiari su questo genere di cose e non confondere vettori e co-vettori (chiamato moduli in quel campo). Un buon riferimento leggibile è Gauge Fields, Knots and Gravity che parte da una panoramica di base della matematica e la sviluppa per luso fisico.

Commenti

• Nel contesto delle teorie dei campi, come lelettromagnetismo, il concetto di ” la quantità di un vettore (campo ) che attraversa un segmento di piano ” viene chiamato flusso . Quindi potresti pensare che larea sia caratterizzata da una funzione che mappa i vettori (o un campo vettoriale) al flusso di quel vettore (campo) attraverso larea.
• @luksen il libro che ha menzionato è buono per quale livello di conoscenza matematica e fisica? Per riformulare, quali sono i prerequisiti per iniziare a seguire in modo efficiente il libro? Ed è un libro laureato o universitario?

Pensa a Force is Pressure times Area ($ F = P \ cdot A $). Sai che la pressione è uno scalare (non cè una direzione ad essa associata) e una forza è un vettore (agisce lungo un asse). Che cosa significa questo per pressione.

Prendi una piccola area e osserva il suo contributo alla forza totale dovuta alla pressione

$$ {\ rm d} F = P ( x, y, z) \, {\ rm d} A $$

La direzione della forza è normale allarea e la sua ampiezza è proporzionale alla dimensione dellarea. Ecco perché un area infinitesimale $ {\ rm d} A $ può essere un vettore. È conveniente pensare a (vector) = (scalar) * (vector).

Esiste un esempio particolarmente pittoresco della Legge di Pitagori in tre dimensioni applicata alle aree di un simplex. (Dove per “simplex” credo di intendere una sezione di spazio delimitata da tre piani e un piano arbitrario.) La somma dei quadrati (delle aree) delle tre facce piccole è uguale al quadrato dellarea della faccia obliqua. È facilmente spiegabile dagli argomenti sul tipo di pressione / flusso avanzati nelle altre risposte qui pubblicate, oltre allovvia condizione fisica che un fluido indisturbato è in equilibrio con se stesso.