Teorema di sovrapposizione
“ Il teorema di sovrapposizione per circuiti elettrici afferma che per un sistema lineare il la risposta (tensione o corrente) in qualsiasi ramo di un circuito lineare bilaterale avente più di una sorgente indipendente è uguale alla somma algebrica delle risposte causate da ciascuna sorgente indipendente che agisce da sola, dove tutte le altre sorgenti indipendenti sono sostituite dalle loro impedenze interne . “

Che tipo di circuiti può essere risolto per sovrapposizione?

I circuiti costituiti da uno qualsiasi dei seguenti componenti possono essere risolti utilizzando il teorema di sovrapposizione

• Indipendente sorgenti
• Elementi passivi lineari: resistore, condensatore e induttore
• Trasformatore
• Sorgenti dipendenti lineari

Quali sono i passaggi per risolvere un circuito utilizzando il teorema di sovrapposizione?

Segui lalgoritmo:

1. Risposta = 0;
2. Seleziona la prima sorgente indipendente.
3. Sostituisci tutte le sorgenti indipendenti nel circuito originale tranne la sorgente selezionata con la sua impedenza interna.
4. Calcola la quantità (tensione o corrente ) di interesse e aggiungi a Risposta.
5. Esci se questa era lultima fonte indipendente. Altrimenti Vai al passaggio 3 con la selezione della sorgente successiva.

Limpedenza interna di una sorgente di tensione è zero e quella di una sorgente di corrente è infinita. Quindi sostituire la sorgente di tensione con un cortocircuito e la sorgente di corrente con circuito aperto durante lesecuzione del passaggio 3 dellalgoritmo precedente.

Come vengono trattati i diversi tipi di sorgenti quando risoluzione per sovrapposizione?

Le fonti indipendenti devono essere trattate come spiegato sopra.

In caso di sorgenti dipendenti, non toccarle.

La sovrapposizione si applica solo quando hanno un sistema puramente lineare, ad esempio:

\ begin {align *} F (x_1 + x_2) & = F (x_1) + F (x_2) \ \ F (ax) & = a F (x) \ end {align *}

Nel contesto dellanalisi del circuito, il circuito deve essere composto da elementi (condensatori, induttori, trasformatori lineari e resistori) con N sorgenti indipendenti e ciò per cui stai risolvendo devono essere tensioni o correnti. Tieni presente che puoi prendere una soluzione sovrapposta a tensione / corrente per trovare altre quantità che non sono lineari (es. potenza dissipata in un resistore), ma non è possibile sovrapporre (aggiungere) quantità non lineari per trovare la soluzione per un sistema più grande.

Ad esempio, prendiamo un singolo resistore e guarda la legge di Ohm (sto usando U e J rispettivamente per tensione / corrente, nessun motivo particolare) e vedi come la corrente ha contribuito dalla sorgente \ $ i \ $ influisce sulla tensione:

\ begin {align *} U = JR = R \ left (\ sum_ {i = 1} ^ N J_i \ right) = \ sum_ {i = 1} ^ NR J_i = \ sum_ {i = 1} ^ N U_i \ end {align *}

Quindi posso trovare la tensione su un resistore sommando il contributo di corrente da ogni sorgente indipendente da qualsiasi altra sorgente . Allo stesso modo, per trovare la corrente che scorre attraverso il resistore:

\ begin {align *} J = \ frac {U} {R} = \ frac {1} {R} \ sum_ {i = 1} ^ N U_i = \ sum_ {i = 1} ^ N \ frac {U_i} {R} = \ sum_ {i = 1} ^ N J_i \ end {align *}

Tuttavia, se inizio guardando la potenza, la sovrapposizione non si applica più:

\ begin {align *} P = JU = \ left (\ sum_ {i = 1} ^ N J_i \ right) \ left (\ sum_ {j = 1} ^ N U_j \ right) \ neq \ sum_ {i = 1} ^ N J_i U_i = \ sum_ {i = 1} ^ N P_i \ end {align *}

Il processo generale per la risoluzione un circuito che utilizza la sovrapposizione è:

1. Per ogni sorgente \ $ i \ $, sostituire tutte le altre sorgenti con la loro sorgente nulla equivalente, ovvero le sorgenti di tensione diventano 0V (cortocircuiti) e le sorgenti di corrente diventano 0A ( circuiti aperti). Trova la soluzione \ $ F_i \ $, per qualsiasi incognita che ti interessa.
2. La soluzione finale è la somma di tutte le soluzioni \ $ F_i \ $.

Esempio 1

Prendi questo circuito con due sorgenti:

^{simula questo circuito – Schema creato utilizzando CircuitLab}

Voglio risolvere la corrente J che scorre attraverso R1.

Scegli V1 come sorgente 1 e I1 come sorgente 2.

Risolvendo per \ $ J_1 \ $, il circuito diventa:

^{simula questo circuito}

Quindi sappiamo che \ $ J_1 = 0 \ $.

Ora risolviamo per \ $ J_2 \ $, il circuito diventa:

^{simula questo circuito}

Quindi possiamo trovare che \ $ J_2 = I_1 \ $.

Applicando la sovrapposizione, \ begin {align *} J = J_1 + J_2 = 0 + I_1 = I_1 \ end {align *}

Esempio 2

^{simula th è il circuito}

Ora sono interessato alla corrente tramite R4 \ $ J \ $. Seguendo il processo generale delineato in precedenza, se indico V1 come sorgente 1, V2 come sorgente 2 e I1 come sorgente 3, posso trovare:

\ begin {align *} J_1 & = – \ frac {V_1} {R_1 + R_2 + R_5 + R_4} \\ J_2 & = \ frac {V_2} {R_2 + R_1 + R_4 + R_5} \\ J_3 & = -I_1 \ frac {R_2 + R_5} {R_1 + R_4 + R_2 + R_5} \ end {align *}

Quindi la soluzione finale è: \ begin {align *} J & = J_1 + J_2 + J_3 = \ frac {V_2 – V_1} {R_1 + R_2 + R_4 + R_5} – I_1 \ frac {R_2 + R_5} {R_1 + R_2 + R_4 + R_5} = \ frac {(V_2 – V_1) – I_1 (R_2 + R_5)} {R_1 + R_2 + R_4 + R_5} \ end {align *}

Il potere della sovrapposizione deriva dal porre la domanda “e se volessi aggiungere / rimuovere una fonte?” Supponi di voler aggiungere una sorgente corrente I2:

^{simula questo circuito}

Invece di ricominciare dallinizio, lunica cosa che devo fare ora è trovare la soluzione per la mia nuova sorgente I2 e aggiungerla a la mia vecchia soluzione: \ begin {align *} J_4 & = I_2 \ frac {R_1 + R_2 + R_5} {R_1 + R_2 + R_5 + R_4} \\ J & = \ sum_ {i = 1} ^ 4 J_i = \ frac {(V_2 – V_1) – I_1 (R_2 + R_5) + I_2 (R_1 + R_2 + R_5)} {R_1 + R_2 + R_4 + R_5} \ end {align *}

Commenti

• Ho alcuni commenti che spero possano essere utili: 1. Trovo che usando U e J creano un po di confusione, V e io siamo migliori; 2. La prima equazione per U non dovrebbe essere una somma, poiché ‘ è solo per la i ‘ esima sorgente; 3. Le altre somme, credo, dovrebbero essere prese da i = 1 a N, non da i a N; 4. La sovrapposizione nella teoria dei circuiti è usata solo per corrente e tensione, quindi sposterei la discussione sul potere più avanti nel testo; 5. Nellesempio che segue quello semplice di I1 e R1, non dovrebbe ‘ t J3 = -I1 (…), poiché I1 agisce nella direzione opposta a J3?
• 1. Ho scelto di usare U e J perché ho etichettato le mie fonti con V e I e ‘ non volevo confusione causata da \ $ I_3 = I_1 \ cdot (\ textrm {blah} ) \ $. Affermo chiaramente cosa sono U e J nella speranza di limitare la confusione. 2. Sì, ho reso la notazione più chiara per ciò che è la variabile di sommatoria e lindice iniziale. 4. La mia idea era di mettere tutte le informazioni di base sulla teoria della sovrapposizione quando prima degli esempi. Ho reso le sezioni degli esempi più chiare per separare le due. 5. Sì, è stato un mio errore.