Conservazione del 4-momentum nella relatività speciale

Capisco che il prodotto interno di due 4 vettori è conservato sotto le trasformazioni di Lorentz

Sì, $ p_1.p_2 $ è un invariante di Lorentz

In modo che il valore assoluto dei quattro momenti è lo stesso in qualsiasi sistema di riferimento.

Non è corretto parlare di “valore assoluto” di un (quadri) vettore. Quello che è conservato in una trasformazione di Lorentz è $ p ^ 2 = (p ^ o) ^ 2 – \ vec p ^ 2 $

Questo è ciò che ho (molto probabilmente erroneamente) il pensiero era inteso come conservazione della quantità di moto.

No, la conservazione della quantità di moto è una cosa completamente diversa. In definitiva, hai una teoria che descrive campi e interazioni, descrivendola con unazione invariante da alcune simmetrie. Se lazione è invariante dalle traslazioni spazio-temporali, allora cè una quantità conservata che è quantità di moto / energia.

Non capisco perché equazioni come P 1 = P 2 + P 3 (Pi sono vettori a 4 quantità di moto per particelle diverse in una collisione per esempio) dovrebbe valere, allinterno di un sistema di riferimento. Mi è stato detto che non puoi semplicemente aggiungere quattro velocità insieme in caso di collisione di particelle, quindi perché dovresti essere in grado di farlo con i vettori della quantità di moto?

Se lazione teorica è invariante rispetto alle traslazioni spazio / temporali, la quantità di moto / energia viene conservata, quindi la quantità di moto / energia totale delle particelle iniziali è uguale al totale quantità di moto / energia delle particelle finali:

$$ (p_ \ textrm {tot}) _ \ textrm {in} ^ \ mu = (p_ \ textrm {tot}) _ \ textrm {out} ^ \ mu \ tag {1} $$

Se ci sono più particelle iniziali, queste sono considerate indipendenti (lo stato globale è il prodotto tensoriale degli stati delle particelle iniziali). Lindipendenza significa che tu avere:

$$ (p_ \ textrm {tot}) _ \ textrm {in} ^ \ mu = \ sum_i p_i ^ \ mu \ tag {2} $$ dove la somma è abou t tutte le particelle iniziali. Unequazione simile vale per le particelle finali.

Nella relatività speciale, se aggiungi due velocità, devi usare la formula

$$ v = (v_1 + v_2) \ left (1+ \ frac {v_1v_2} {c ^ 2} \ right) ^ {- 1} \ text {.} $$

Quindi non puoi semplicemente aggiungere due velocità insieme. Di solito, la velocità non è una buona variabile con cui lavorare nella relatività speciale. È molto più facile usare la conservazione a quattro quantità di moto, che è semplicemente data da

$$ p = p_1 + p_2 \ text {,} $$

per una collisione di particelle dove due particelle con $ p_1 $ e $ p_2 $ si scontrano e poi si uniscono e hanno la quantità di moto $ p $. Poiché la quantità di moto a quattro è data da

$$ p = \ begin {pmatrix} E / c \\ \ vec {p} \ end {pmatrix} \ text {,} $$

la conservazione di quattro quantità di moto non è altro che la conservazione di energia $ E $ e la conservazione di tre quantità di moto $ \ vec {p} $.

Per rispondere alle tue domande:

Perché può aggiungiamo quattro quantità di moto in una collisione di particelle? Perché la conservazione di energia e quantità di moto vale anche nella relatività.

Perché può “t aggiungiamo quattro velocità in una collisione di particelle? Perché non esiste una cosa come la “conservazione della velocità”, né in modo classico né in relatività.

Commenti

• Questa risposta è stata fantastica. Ho una domanda per chiarire: $ (P_1 + P_2) ^ 2 $ sarà invariante, quindi $ (P_1 + P_2) ^ 2 = – (m_1 + m_2) ^ 2c ^ 2 $?

Puoi semplicemente verificare ogni componente e sono solo conservazione della quantità di moto in 3 quantità di moto. Non cè conservazione della velocità, quindi non puoi sommarli.