Cosa si intende con il termine “ Numero di cose ”?

Il libro è molto antico: 2a ed 1903; 1st ed 1890.

Come puoi vedere dalla nota a pagina 131, Cantor e Dedekind sono menzionati come “contributi interessanti alla letteratura sullargomento” …

Quindi, non puoi aspettarsi che i concetti introdotti allinizio senza definizione, usati come primitivi per “chiarire” il trattamento successivo, possano essere esattamente tradotti in nozioni teoriche degli insiemi moderne (cioè post-1930).

Penso che:

gruppo debba significare una raccolta finita di oggetti (cose)

e che:

numero di cose in un gruppo è “chiaramente” (dalla discussione) lequivalente della moderna cardinalità (limitata a raccolte finite ) ed è chiamata “proprietà” di la raccolta (gruppo).

La mia interpretazione è che le cose sono “individuali”, concrete o astratte (se esistono). Ovviamente è facile pensarli come oggetti concreti, come peebles in tasca o soldati in un plotone.

Un plotone è un gruppo di soldati e numero di cose nel plotone è il numero di singoli soldati che lo formano.

Questa interpretazione ha senso anche per quanto riguarda la definizione che segue di addizione (vedi CoolHandLouis “s risposta).

Tieni presente che qui gruppo ha il significato” generico “di raccolta o aggregato; non ha nulla a che fare con il termine tecnico” gruppo “di teoria dei gruppi .

Quando “astraggiamo” dai “caratteri” delle singole cose (cioè formiamo le loro proprietà individuali, come colore, dimensione, forma per una colelction di palline) e dallordine degli oggetti nella raccolta (è lo stesso per il concetto di insieme “moderno”: {A, B, C} è “lo stesso” insieme di {C, B, A} ) quello che otteniamo è il “numero” delle cose nel gruppo (il numero dei membri della collezione).

Ricorda r che la notazione originale di Cantor per rappresentare il numero cardinale dellinsieme A era una “doppia barra superiore” su A:

il simbolo di un insieme annotato con una singola barra sopra A indicata con A privato di qualsiasi struttura oltre ordine, quindi rappresentava il tipo di ordine dellinsieme. Un doppio overbar su A indicava quindi di eliminare lordine dal set e quindi indicava il numero cardinale del set.

Commenti

• Cosa si intende con il termine Numero di cose in inglese generale?
• @Anupam – mi dispiace, ma ‘ non sono madrelingua inglese. Ho ‘ ho cercato nel Cambridge Dictionary online : non cè parafrasi diretta: la locuzione più simile I ‘ ho trovato ” diversi tipi di cose particolari: ho deciso di non andare, per una serie di motivi. ” Dobbiamo utilizzare la locuzione di Fine ‘ come ” termine tecnico “.
• Penso che il ” gruppo ” non sia il ” imposta ” della nostra matematica moderna. Un set è una raccolta di oggetti astratti daltra parte ” gruppo ” è una raccolta di cose (che non sono astratte). La teoria degli insiemi non ha nulla a che fare con la mia domanda.
• Non ‘ letto questo lavoro, ma come qualcuno con più conoscenze matematiche la frase ” deve indicare una raccolta finita di oggetti (cose) ” mi fa rabbrividire.
• @JamesKingsbery – ma ” gruppo ” qui non è inteso come nella teoria dei gruppi ; il significato è ” colelction ” o ” aggregate ” di singoli oggetti.

Prefazione

Ho fornito due risponde a questa domanda:

• Laltra risposta è la risposta migliore ed è la mia risposta principale. Suggerisce che Mr. Fine si riferisca alla teoria ingenua degli insiemi.

• Ho fornito questa risposta perché lOP ha insistito pensando che {A, A, A} contenesse “tre elementi distinti “e ha pubblicato una taglia. Altrimenti non cera assolutamente alcun OP convincente, quindi perché non acconsentire e ottenere la taglia? 🙂

  Le due risposte in realtà si completano a vicenda poiché mostrano come è possibile descrivere gli stessi fenomeni matematici cambiando assiomi, definizioni e regole in luoghi diversi. Dici TOE MAY TOE io dico TOE MAH TOE. A quanto pare, questa risposta contiene una simpatica” dimostrazione matematica “che Mr. Fine pensava che {A, A, A} rappresentasse tre elementi distinti”. Ma per favore sentiti libero di leggere un atteggiamento ironico in questo risposta.

Anupam,

Hai ragione Mr. Fine considera {A, A, A} = 3.

Sto inviando unaltra risposta perché ho capito, ma volevo lasciare la mia vecchia risposta per il bene della storia. Hai ragione! Henry Burchard Fine intendeva tre cose concrete quindi {A, A, A} viene conteggiato come tre. La sua affermazione non può essere un errore perché è la sua premessa principale nel confermare tutta la sua aritmetica numerica – la base dellintero libro – a partire dalladdizione:

Aggiunta: Se due o più gruppi di cose vengono riuniti in modo da formare un unico gruppo, il simbolo numerico di questo gruppo è chiamato la somma dei numeri dei gruppi separati.

Se la somma è se il numeri dei gruppi separati abc ecc. rispettivamente la relazione tra loro è espressa simbolicamente dallequazione s = a + b + c + etc dove si suppone che il gruppo somma sia formato unendo il secondo gruppo a cui b appartiene al prima il terzo gruppo a cui c appartiene al gruppo risultante e così via

Loperazione di trovare s quando sono noti abc ecc. è laggiunta. Laddizione è un conteggio abbreviato.

6 Addizione If due o più gruppi di cose essere riunite in modo da formare un unico gruppo il simbolo numerico di questo gruppo è chiamato la somma dei numeri dei gruppi separati Se la somma è rispettivamente se i numeri dei gruppi separati abc ecc la relazione tra loro è simbolicamente espresso dallequazione sab c + ecc. dove si suppone che il gruppo somma sia formato unendo il secondo gruppo a cui b appartiene al primo il terzo gruppo a cui c appartiene al gruppo risultante e così via Loperazione di trovare s quando abc ecc. sono note è laddizione Laddizione è il conteggio abbreviato

• Dato a, b, c sono “gruppi / insiemi”,

• If two or more groups of things be brought together so as to form a single group...
  Sia d = a U b U c

• ...the numeral symbol of this group is called the sum of the numbers of the separate groups)
  Sum (d) = Sum (a) + Sum (b) + Sum (c)

• Ora definisci i gruppi / insiemi come segue:

  • a = {A}
  • b = {A}
  • c = {A}

• Somma (d ) = Somma (a) + Somma (b) + Somma (c) = 1 + 1 + 1 = 3

• d = a U b U c

• Pertanto, l “operatore di unione” di Mr. Fine deve creare d = {A, A, A} e sum ({A, A, A}) = 3.

• Se “s” union operator “di Mr. Fine fosse una normale notazione di insiemi, allora d = {A} e non è possibile ottenere” 3 “da quella.

Pertanto, Mr. Fine considera {A, A, A} = 3.

Questo è il caso in cui A rappresenta oggetti concreti distinti, come 3 monete in una tasca.

Commenti

• Non ‘ penso che questa sia la conclusione giusta. Penso che Fine presuma semplicemente che quando ” riunisce i gruppi ” ai fini della somma, il ” i gruppi ” sono disgiunti.
• Stai assumendo la lettera $ A $ come ” oggetto astratto ” o ” oggetto in cemento “. Se $ A $ viene assunto come un ” oggetto astratto “, $ a $, $ b $ e $ c $ avranno tutti $ 1 , 1,1 $ numero di cose in esse ma $ d $ non avrà $ 3 $ numero di cose perché il termine Numero di cose è definito solo per ” gruppi ” con elementi distinti . Se stai assumendo $ ” A ” $ come un ” oggetto concreto ” allora va tutto bene.
• +1 al tuo commento sopra Anupam!Anupam, questa è probabilmente la migliore domanda che ‘ hai posto nei commenti! Bravo e +1 a quella domanda! Tutta questa mia risposta dipende da cosa intendevo! Ciò significa che non puoi essere sicuro che sia corretto o meno a meno che non ti dica se intendevo ” abstract ” o ” calcestruzzo “. Eccellente! Lo adoro! Penso che questo corrisponda alla domanda originale sullintento di ciò che intendeva Mr. Fine.
• ” A ” è un oggetto concreto.

Il lavoro che la prima cosa che mi viene in mente è la Filosofia dellaritmetica di Edmund Husserl. Affronta in qualche dettaglio lovvia difficoltà con il numero: che per contare le cose contate devono essere entrambe diverse (quindi potrebbe essercene più di una) e la stessa (stai contando certe cose). Quando dico “tre mele” sono tutte uguali in un senso (sono “mele) e sono tutte diverse in un altro (ce ne sono tre, contraddistinte dal loro spazio relazione se non altro)

Cè “molteplicità” e “unità” simultanee. Questo porta alla domanda “uguale in che modo e diverso in che modo”.

La cosa che ricordo di più di questo libro è la discussione sulla differenza e la distinzione. È qualcosa di cui vale la pena parlare. Ci sono due termini che possono essere messi in contrasto, “diverso”, “distinto”.

• Per distinguere tra due cose dobbiamo fare un giudizio
• Diverso è una condizione necessaria ma non sufficiente per distinguere le cose

In matematica si distingue tutto ciò che è diverso e si considera una totalità di cose distinte. Questo evita la parte difficile: il giudizio umano.

Questo giudizio è spesso facile per noi. È chiaro che percepiamo molte cose come distinte e che il mondo “si cristallizza” in oggetti. Sebbene questa percezione non sia sempre tutto ciò che serve per distinguere le cose, nella maggior parte delle situazioni quotidiane è sufficiente, è solo nei casi limite in cui dobbiamo andare oltre la nostra apparenza di oggetti separati nello spazio e usare qualche altro modo di giudizio.

La capacità di distinguere tra le cose è largomento principale del campo scientifico della psicofisica, che in realtà iniziò intorno al 1890 e continua ancora oggi. Ci sono stati molti scritti filosofici anche su questa capacità umana, infatti sono dellopinione che sia la questione principale della filosofia (altri potrebbero non essere daccordo).

Per rispondere direttamente alla tua domanda: la matematica esclude il giudizio umano, quindi quando si costruisce un sistema formale dobbiamo iniziare dopo che il giudizio è stato espresso – lo facciamo assumendo che i suoi oggetti siano tutti distinguibili luno dallaltro. Se gli oggetti in matematica non sono distinguibili, vengono considerati uguali. Questo non è vero per le cose reali, che possono essere diverse ma non distinte.

Nota: I dettagli di come laritmetica viene astratta dai giudizi umani sono trattati nel resto del libro di Husserl. Non sono veramente in grado di articolarlo qui. Penso che potrebbero esserci dei problemi alla luce della recente ricerca scientifica “numerity” . “Non lo sono sicuro ancora.

Commenti

• Il problema di ” Uno su molti ” risale a Platone; vedi Argomento del terzo uomo ma ci fornisce poche informazioni su cosa sono i numeri e su come supportano il ” processo umano ” di conteggio. La matematica può dichiarare i numeri come primitivi o provare a ” spiegarli ” attraverso la teoria degli insiemi, utilizzando i concetti di corrispondenza (numeri cardinali) e ordine (numeri ordinali). Ma il problema cè ancora: cosa sono i numeri e perché siamo in grado di ” applicarli ” alla realtà esterna?
• @MauroALLEGRANZA Già, ‘ è vecchio, ‘ è la domanda principale;) Il resto di Husserl ‘ parla del rapporto tra aritmetica astratta e mondo, motivo per cui ‘ lho menzionato piuttosto che altro. Non ho ‘ dettagliato perché è 1) abbastanza tecnico (motivo principale) 2) forse sbagliato e 3) non necessario per spiegare ” Perché Mr. Fine ha limitato questo termine solo a quei gruppi che hanno tutti gli elementi distinti. ”
• I ‘ non sto dicendo che Husserl avesse torto … La mia comprensione personale è che Fine (1890!) stava cercando di ” chiarire ” il concetto di numero evitando il ” platonista ” gusto, evitando ogni riferimento a oggetti ” abstract “. ‘ non sono convinto che Platone avesse ragione … ma ‘ sono convinto che fino ad ora no è stato trovato un valido argomento per ” che spiega ” quali sono i numeri che evitano tutti i riferimenti a ” abstract ” oggetti o concetti.
• @MauroALLEGRANZA Non ‘ volevo dire che lo eri. Husserl è piuttosto critico nei confronti dellidea che i numeri dovrebbero essere limitati agli oggetti fisici (in particolare Mill), dice ” La mera allusione ad atti o stati psichici, che sicuramente può essere contato allo stesso modo dei contenuti fisici, confuta [questo] “. Se si possono contare oggetti astratti, una teoria che ometta di riferimento oggetti astratti sarebbe incompleta. Ma forse ‘ non ti capisco.
• Ancora una volta sono daccordo con te; ” amo ” G.Frege, Die Grundlagen der Arithmetik (” The Foundations of Arithmetic: Unindagine logico-matematica sul concetto di numero “), Breslavia, 1884 dove ” ha demolito ” la teoria empirista dei numeri di ‘. Cerano connessioni (e contatti) tra H e F; vedi di Claire Ortiz Hill, Husserl o Frege? Significato, oggettività e matematica .

Prefazione

Ho fornito due risposte a questa domanda:

• Questa risposta è la risposta migliore e suggerisce che Mr. Fine si riferisca alla teoria ingenua degli insiemi. Inoltre, non cè un grande tentativo di rigore qui, e il signor Fine salta semplicemente avanti al suo argomento di interesse. Questa è la mia risposta principale.

• Ho fornito unaltra risposta in questo stesso thread perché lOP ha insistito pensando che {A, A, A} contenesse “tre elementi distinti” e ha pubblicato una taglia. Altrimenti non cera assolutamente alcun OP convincente, quindi perché non acconsentire e ottenere la taglia? 🙂

  Le due risposte in realtà si completano a vicenda poiché mostrano come è possibile descrivere gli stessi fenomeni matematici cambiando assiomi, definizioni e regole in luoghi diversi. Dici TOE MAY TOE io dico TOE MAH TOE. A quanto pare, laltra risposta contiene una simpatica “dimostrazione matematica” che Il signor Fine ha pensato che {A, A, A} rappresenta tre elementi distinti. Potrebbe essere interessante vedere come ho difeso una simile proposta.

1. The Book is Referencing Naive Set Theory

È più facile fare riferimento al seguente link di Google Libri: The Number-system of Algebra: Treated Theoretically and Historically “ (Henry Burchard Fine, Copyright 1890, Published 1907). Quello che segue è lestratto in questione da questo libro del 1907:

I. LINTEGRO POSITIVO E LE LEGGI CHE REGOLANO LAGGIUNTA E LA MOLTIPLICAZIONE DI INTERI POSITIVI

1 Numero. Diciamo di certe cose distinte che formano un gruppo (per gruppo si intende un gruppo finito che non può essere portato in una corrispondenza uno a uno 2 con qualsiasi parte di se stesso) quando le rendiamo collettivamente un unico oggetto della nostra attenzione.

Il numero di cose in un gruppo è quella proprietà del gruppo che rimane invariata durante ogni cambiamento nel gruppo che fa non distruggere i separateni le cose luna dallaltra o la loro comune separazione da tutte le altre cose.

Tali cambiamenti possono essere cambiamenti nelle caratteristiche delle cose o nella loro disposizione allinterno del gruppo. Anche in questo caso i cambiamenti di disposizione possono essere cambiamenti nellordine delle cose o nel modo in cui sono associate tra loro in gruppi più piccoli.

Possiamo quindi dire: Il numero di cose in qualsiasi gruppo di cose distinte è indipendente dai caratteri di queste cose dallordine in cui possono essere disposte nel gruppo e dal modo in cui possono essere associate luna allaltra in gruppi più piccoli.

2 Uguaglianza numerica. Il numero di cose in due gruppi qualsiasi di cose distinte è lo stesso quando per ogni cosa nel primo gruppo ce nè una nel secondo e reciprocamente per ogni cosa nel secondo gruppo nel primo. Quindi il numero di lettere nei due gruppi A, B, C; D, E, F, è lo stesso … [Mr. Fine continua a parlare di corrispondenza 1 a 1 – CoolHandLouis] …

È È chiaro a chiunque prenda un corso di “Teoria degli insiemi 101” di livello iniziale che questo libro descrive le basi della teoria degli insiemi. Possiamo affermare con sicurezza che i riferimenti di Mr. Fine a un “gruppo” sono esattamente e precisamente ciò che ora è conosciuto come un “insieme”, e agli “elementi” quando descriveva “cose distinte”. (Per inciso, questo lintero post si riferisce effettivamente a quella che viene chiamata “Teoria degli insiemi ingenua”, ma questo è irrilevante per questa domanda / risposta.)

Dato che Mr. Fine si riferisce alla Teoria degli insiemi, e il suo libro è stato scritto nel 1907 , il mio primo suggerimento è che dimentichi completamente Mr. Fine e Google per alcuni buoni riferimenti per principiante” teoria degli insiemi “ e guarda anche alcuni brevi video sullo stesso argomento.

Mr. Fine” nota a piè di pagina “Per gruppo si intende un gruppo finito che è uno che non può essere portato in una corrispondenza uno a uno con nessuna parte di se stesso “è una prova molto forte che sta parlando di teoria degli insiemi (ingenua). Evita ovviamente gli insiemi infiniti, e basandosi sulla storia della Teoria degli insiemi, che potrebbe essere stato per pol ragioni pratiche. Non cè motivo per lui di essere controverso a quel punto della sua carriera, e ogni motivo per andare sul sicuro, specialmente con questo libro.

Ma questa è una meta-risposta. Ecco “una vera risposta:

2. Risposta alla domanda – Introduzione

Per prima cosa standardizziamo il resto della lingua di questo post al 21 ° secolo: Un insieme è una raccolta di elementi distinti. Quindi non parliamo più di “cose” o “gruppi”. E non importa se sono concreti o astratti, reali o immaginari.

La modifica dei nomi di questi termini non in cambierà in qualsiasi modo i problemi che stai riscontrando. Le nuove parole si riferiscono esattamente alla stessa cosa che stava dicendo il signor Fine. È tutta una questione di definizione, e definirò tutto mentre andiamo per mostrarti la differenza che sta causando confusione.

3. Come stai guardando “Distinct” e “Counting”

Primo, in un certo senso, hai ragione. Allinterno della tua comprensione personale / sistema di credenze / definizioni di “distinto”, “collezione”, “insieme di cose” e “gruppo”, e come si tratta di esse, tu sei “concludi ng “che” hai ragione “. E né io né alcun matematico possiamo discutere contro la tua “correttezza” in questo senso. Sulla base delle tue definizioni e dei tuoi metodi di pensiero, hai assolutamente ragione. Ma questo è solo linizio; questo non risolve la confusione.

Inventiamo / inventiamo un sistema in cui tu abbia “ragione” (ricorda che potremmo anche dire “gruppi” e “cose” ma io “sto standardizzando” insiemi ” e “elementi”. Le parole utilizzate non fanno alcuna differenza fintanto che le definiamo.)

Regole non standard della teoria degli insiemi secondo il poster originale

• Un insieme è una raccolta di elementi.
• Ogni elemento è rappresentato da uno o più simboli (alfanumerici).
• La dimensione dellinsieme è il numero totale di elementi.
• OP “s Definizione di Distinct: Ogni elemento è considerato” distinto “se appare in una posizione diversa, quindi {A , A} contiene due elementi distinti perché si trovano in posizioni diverse (posizione uno e posizione due).

Domanda: quanti elementi ci sono in {A, A, A} in base al sopra le regole non standard di Ori Poster ginal? Risposta: 3.

4. Come la teoria degli insiemi matematici (il libro di Mr. Fine) definisce “distinto” e “conteggio”

Consideriamo ora questo più dalla definizione matematica standard.

Regole matematiche standard della teoria degli insiemi

• Un insieme è un raccolta di elementi distinti.
• Ogni elemento è rappresentato da uno o più simboli.
• La dimensione di un insieme è il numero totale di elementi.
• Definizione della teoria degli insiemi di distinto: Ogni elemento è considerato “distinto” se può essere determinato come diverso da tutti gli altri elementi. Quando rappresentato da lettere e parole, riguarda solo per distinguere se gli elementi hanno nomi diversi o meno. Nella matematica scritta, distinto = nomi diversi.

Ai fini di questa risposta, qualcosa con lo stesso nome non è distinto: si riferisce alla stessa cosa. Quindi {A, A} è come dire {India, India}. Si riferisce solo a un paese, non a due paesi. Si riferisce allo stesso paese due volte. Allora qual è il conteggio? Lunico paese, o le due volte che viene menzionato? Nella teoria degli insiemi, è il primo.

“Ma perché?” potresti chiedere. In un certo senso, puoi pensare a tutto ciò come completamente arbitrario. “È per definizione.” (Ma è così per una buona ragione; fa funzionare bene molte altre cose nella teoria degli insiemi, ma questo è al di là di questa discussione) .Quindi devi solo accettarlo , proprio come “dobbiamo accettare che hai ragione con la tua definizione”.

Domanda: quanti paesi distinti ci sono in {Francia, Francia, Francia, Francia, India, India, India, Brasile, Brasile}? Risposta: 3 perché il set si riferisce solo a tre luoghi distinti = {Francia, India, Brasile}.

5. Monete in tasca

È per questo motivo e per semplicità aggiungiamo semplicemente unaltra regola alla Teoria degli insiemi:

• Non sono consentiti duplicati negli insiemi.

Perché? set è una specie di “borsa di cose” (concrete o astratte). Ad esempio, consideriamo quattro monete nella tua tasca sinistra lunedì. Diciamo che non sappiamo cosa sono. Quindi li chiamiamo C1, C2, C3, C4.

• Monday_InLeftPocket_AllCoins = {C1, C2, C3, C4}

Data questa idea, fa non ha senso riferirsi a questo come {C1, C1, C1, C2, C3, C4}. Perché fare riferimento alla prima moneta tre volte? È già in tasca. Basta fare riferimento una sola volta. Ora assegniamo alcuni attributi alle monete:

• C1 = Type = Penny; FaceValue = 0,01; Data = 1999; Peso = 2,4993399494 g; Condizione = Menta
• C2 = Tipo = Penny; FaceValue = 0,01; Data = 1999; Peso = 2.4990044384 g; Condizione = Buono
• C3 = Tipo = Nickle; FaceValue = 0,05; Data = 2002; Peso = 5.0002292833 g; Condizione = Molto buono
• C4 = Tipo = Nickle; FaceValue = 0,05; Data = 2003; Peso = 5,0010022229 g; Condizione = Molto buono

Ora che sappiamo che due di loro sono penny, il set di monete che hai in tasca è sempre lo stesso:

• Monday_InLeftPocket_AllCoins = { C1, C2, C3, C4}

Ma ora possiamo chiederci quanti tipi diversi (distinti) di monete hai in tasca:

• Monday_InLeftPocket_TypesOfCoins = {Penny, Nickle}

Muoviamo le monete C2, C3 e C4 nella tua tasca destra martedì. Cosa cè nelle tue tasche mercoledì?

• Wednesday_InLeftPocket_AllCoins = {C1}

• Wednesday_InLeftPocket_TypesOfCoins = {Penny}

• Wednesday_InRightPocket_AllCoins = {C2, C3, C4}

• Wednesday_InRightPocket_TypesOfCoins = {Penny, Nickle}

Commenti

• Dopo aver studiato il concetto di type-token Dubito dellaccuratezza logica del libro di Fine ‘. Sto costruendo una nuova domanda relativa alla nota a piè di pagina fornita nel ” gruppo $ {} ^ 1 $ “.
• No aspetta per favore per lamor di tutti ‘ …. aspetta solo un po . non è unaltra domanda che si tratta solo di inchiodare. Concedi a chi risponde un po di tempo per rispondere alla mia risposta e alle tue preoccupazioni. Il libro del ” gruppo ” in Fine ‘ è esattamente linsieme della matematica moderna. ‘ andrai completamente su unaltra tangente se lo porti a unaltra domanda.
• ” Gruppo ” nel bel ‘ s il libro non è esattamente quello impostato nella matematica moderna. Questa volta ho ragione.
• Ok cosa è la tua prova su questo. Ho dedicato molto tempo a questa risposta, quindi per favore resta con me su questo solo un po , ok?
• La mia opinione personale è che chi fa domande, dato il servizio gratuito di un risponditore, dovrebbe votare a favore di tutte le risposte che fornisci un valore, anche se ‘ non è la risposta giusta. ‘ un modo di dire, ” Grazie per aver contribuito al processo di ricerca della risposta. ” Allo stesso modo, credo che chiunque risponda a una domanda dovrebbe votare a favore della domanda; sicuramente se passavano del tempo a rispondere, doveva avere un certo valore. Sii generoso con i voti. Sono segni astratti e gratuiti di apprezzamento / valore. Lascia che gli altri votino su o giù per meriti più rigorosi. ‘ è una tua scelta, ma ‘ non voterei negativamente su tale tecnicismo.

D1: Poiché $ A $ e $ A $ non sono distinti, solo $ A $ e $ B $ sono distinti (a meno che tu non sia rabulista e distingua “il primo blob di inchiostro che forma un $ A $” da “il secondo blob di inchiostro che forma un $ A $”, ma questo rende impossibile menzionare propriamente uno qualsiasi di questi $ A $ s come lettera concreta (blob of ink) $ A $ usata per menzionare una lettera specifica (blob of ink) $ A $ è automaticamente diverso da quel blob di inchiostro, contrariamente allintento. in tutti questi casi si parla dell “idea” di $ A $, cioè ogni istanza di “$ A $” nel testo si riferisce allo stesso oggetto, che a sua volta deve essere pensato al di fuori del testo (per renderlo possibile nel primo posto in cui usare “$ A $” per parlare di $ A $). Solo in questo senso $ A = A $ (poiché come macchie concrete di inchiostri sulla carta hanno posizioni diverse, rendendole diverse) ei due $ A $ s in “$ A, B, A $” mancano di distinzione. Il tuo gruppo è quindi lo stesso che ha gli elementi $ A, B $ (o $ B, A $ se preferisci), cioè il numero è $ 2 $.

D2: Non sono ancora identici come oggetti. Per esempio. Puoi mettere il primo e mettere il secondo nel tuo armadietto mentre stiri a caldo il terzo; te ne accorgeresti facilmente se stavi effettivamente stirando a caldo la stessa maglietta che indossi. Le camicie sono indistinguibili per la proprietà “colore” (come prima erano già indistinguibili per esempio dalla proprietà “taglia”, presumo), ma sono comunque distinguibili per la proprietà “posizione spaziale”. Curiosamente, questo ci lascia con il problema che incontriamo difficoltà a identificare le maglie di oggi con quelle di ieri. Bisogna pensare un po a cosa significano “distinto” (invece di “distinguibile”) e “stessa cosa”.

D3: La distinzione degli elementi (che può consentire camicie di colore identico) è essenziale, perché non vuoi contare di nuovo lo stesso oggetto (così facendo ti trasformeresti in un uomo ricco con una sola moneta in tasca). Un approccio totalmente (?) Diverso consiste nel definire “numero” come la classe di equivalenza degli insiemi (e sembra che Fine “s” gruppo “sia ciò che oggi chiameremmo” insieme “) sotto” equinumerabilità “(cioè esistenza di una biiezione tra gli insiemi). In questo modo il concetto di 2 o Due-ness corrisponde (o in effetti è) alla classe di tutti gli insiemi $ X $ tale che esista una forma di biiezione $ X $ a qualsiasi insieme specifico di (ciò che chiamiamo ) due elementi, come $ \ {\ emptyset, \ {\ emptyset \} \} $. Se hai orrore per le classi (corrette), potresti notare che ciascuna di queste classi di equivalenza contiene uno speciale insieme “semplice”, un ordinale (almeno nel caso finito, e in generale sotto lipotesi dellassioma di scelta).

Commenti

• Cosa si intende per numero di cose ? perché diciamo in Q1 che il gruppo G: {A, A, B} ha 2 numeri di cose, perché non 3 come dovrebbe essere perché ci sono 3 numeri di cose nel gruppo G , anche le due cose nel gruppo G sono le stesse ma esistono e dovremmo contarle o. Usiamo il termine numero di cose in modo diverso in matematica rispetto alla vita normale. il concetto primitivo di contare non si preoccupa della distinzione di cose diverse in un gruppo mentre calcola il numero di cose in un gruppo. Perché in matematica abbiamo fatto questo tipo di definizione insolita del termine no. di cose .
• Signore, ho modificato la mia domanda per essere più diretta. Potresti almeno spiegare cosa si intende per Numero di cose .

“Numero di cose” in inglese generale: non ci sono informazioni sufficienti nel termine da solo per dare una risposta.

Il problema è il termine “cose”. In inglese generale questo si riferirebbe ad alcuni disposizione già definita, ad esempio numero di elementi dello stesso colore o numero di uova in una scatola o numero di cifre “3” presenti in un numero di telefono.

Senza questo, il significato di “numero di cose “è molte volte – è il numero di oggetti in un contenitore di qualsiasi tipo / dimensione, classificati in base a qualsiasi metodo tu voglia immaginare.

Commenti

• Supponiamo che ci sia un gruppo {A, A, A}. Chiedo quante lettere ci sono in questo gruppo ? Quale dovrebbe essere la risposta.
• Fare riferimento a Tipi e token
• @MauroALLEGRANZA il link che hai dato è piuttosto interessante. Sembrano implicare che ” Digita ” = ” Oggetto astratto ” e ” Token ” = ” Cemento “. Nel libro Me.Fine at the outsaet dice: ” Diciamo di certe cose distinte che formano un gruppo ” ” Cosa ” = ” cemento ” = ” Token ” ho ragione?
• @Mauro, Scusate ma voi ragazzi avete le cose al contrario. La parola ” cosa ” non fa derivare il significato del ‘ da ” Filosofia tipo / token “. La definizione di google.com/search?q=definition+thing include ” unentità o un concetto astratto: ‘ lutto e depressione non sono la stessa cosa ‘. sinonimi: caratteristica, qualità, attributo, proprietà, tratto, caratteristica, punto, aspetto, sfaccettatura, stranezza …
• @Mauro, anche, ” un finito la raccolta ” non implica cose concrete. Ecco alcune raccolte finite di cose / elementi astratti: {1,2,3,4,5}, {love, war, peace}. Molto probabilmente evitò set infiniti perché allepoca erano molto controversi: en.wikipedia.org/wiki/Controversy_over_Cantor’ s_theory .

Ti suggerisco di confrontare la definizione di Fine con la seguente discussione, da RL Goodstein, Teoria dei numeri ricorsiva (1957) :

La domanda “Qual è la natura di unentità matematica?” è una domanda che ha interessato i pensatori per oltre duemila anni e si è rivelata molto difficile da rispondere. Anche la prima e più importante di queste entità, la naturale numero, ha linafferrabilità di un fuoco fatuo quando si cerca di definirlo.

Una delle fonti della difficoltà nel dire cosa sono i numeri è che non cè nulla a cui possiamo indicare nel mondo che ci circonda quando cerchiamo una definizione di numero. Il numero sette, ad esempio, non è una raccolta particolare di sette oggetti, poiché, se lo fosse, non si potrebbe dire che nessunaltra raccolta abbia sette membri; poiché se identifichiamo la proprietà di essere sette con la proprietà di essere una collezione particolare, allora essere sette è una proprietà che nessunaltra collezione può avere. Un tentativo più ragionevole di definire il numero sette sarebbe dire che la proprietà di essere sette è la proprietà che tutte le raccolte di sette oggetti hanno in comune. La difficoltà di questa definizione, tuttavia, sta nel dire cosa hanno realmente in comune tutte le raccolte di sette oggetti (anche se pretendiamo di poter mai conoscere tutte le raccolte di sette oggetti). Certamente il numero di una collezione non è una sua proprietà nel senso che il colore di una porta è una proprietà della porta, perché possiamo cambiare il colore di una porta ma non possiamo cambiare il numero di una collezione senza cambiare la collezione si. Ha perfettamente senso dire che una porta che prima era rossa, e ora è verde, è la stessa porta, ma non ha senso dire di una collezione di sette grani che è la stessa collezione di una collezione di otto grani. Se il numero di una collezione è una proprietà di una collezione, allora è una proprietà che definisce la collezione, una caratteristica essenziale.

Questo, tuttavia, non ci porta più vicino a una risposta alla nostra domanda “Cosè che hanno in comune tutte le raccolte di sette oggetti?” Un buon modo per fare progressi con una domanda di questo tipo è chiederci “Come facciamo a sapere che una raccolta ha sette membri?” perché la risposta a questa domanda dovrebbe certamente portare alla luce qualcosa che accomuna raccolte di sette oggetti. Una risposta ovvia è che scopriamo il numero di una collezione contando la collezione ma questa risposta non sembra aiutarci perché, quando contiamo una collezione, sembra che non facciamo altro che “etichettare” ogni membro della collezione con un numero. (Pensa a una fila di soldati che numerano.) Chiaramente non fornisce una definizione di numero per dire che il numero è una proprietà di una collezione che si trova assegnando numeri ai membri della collezione.

Etichettare ogni membro di una collezione con un numero, come sembriamo fare nel conteggio, significa in effetti impostare una corrispondenza tra i membri di due collezioni, gli oggetti da contare ei numeri naturali . Nel contare, ad esempio, una raccolta di sette oggetti, si imposta una corrispondenza tra gli oggetti contati ei numeri da uno a sette. Ad ogni oggetto viene assegnato un numero univoco e ogni numero (da uno a sette) viene assegnato a qualche oggetto della collezione. Se diciamo che due raccolte sono simili quando ognuna ha un associato univoco nellaltra, si può dire che il conteggio di una raccolta determina una raccolta di numeri simile alla raccolta contata.

La debolezza della definizione risiede in questa nozione di corrispondenza. Come sappiamo quando due elementi corrispondono?Le tazze e i piattini in una collezione di tazze che stanno nei loro piattini hanno unovvia corrispondenza, ma qual è la corrispondenza tra, diciamo, i pianeti e le Muse? Inutile dire che anche se non esiste una corrispondenza evidente tra i pianeti e le Muse, possiamo stabilirne una facilmente, perché come lo sappiamo e, cosa è più importante, che tipo di corrispondenza permettiamo? Nel definire il numero in termini di somiglianza, abbiamo semplicemente sostituito il concetto sfuggente di numero con il concetto altrettanto sfuggente di corrispondenza.

Alcuni matematici hanno tentato di sfuggire alla difficoltà di definire i numeri, identificando i numeri con i numeri. Il numero uno è identificato con il numero 1, il numero due con il numero 11, il numero tre con 111 e così via. Ma questo tentativo fallisce non appena si percepisce che le proprietà dei numeri non sono le proprietà dei numeri. I numeri possono essere blu o rossi, stampati o scritti a mano, persi e ritrovati, ma non ha senso attribuire queste proprietà ai numeri e, al contrario, i numeri possono essere pari o dispari, primi o composti, ma queste non sono proprietà dei numeri.

Lantitesi di “numero” e “numerale” è comune nel linguaggio, e forse la sua istanza più familiare si trova nella coppia di termini “proposizione” e “frase”. La frase è una rappresentazione fisica della proposizione, ma non può essere identificata con la proposizione poiché frasi diverse (in lingue diverse, per esempio) possono esprimere la stessa proposizione. [vedi tipi e gettoni ]

Il gioco degli scacchi, come è stato spesso osservato, offre un eccellente parallelo con la matematica (o, se è per questo, con il linguaggio stesso). Ai numeri corrispondono i pezzi degli scacchi, e alle operazioni di aritmetica, le mosse del gioco.

Qui troviamo finalmente la risposta al problema della natura dei numeri. Vediamo, in primo luogo, che per comprendere il significato dei numeri dobbiamo guardare al “gioco” che i numeri giocano, cioè allaritmetica. I numeri, uno, due, tre e così via, sono caratteri nel gioco dellaritmetica, i pezzi che interpretano questi caratteri sono i numeri e ciò che fa di un segno il numero di un numero particolare è la parte che gioca, o come potremmo dire in una forma più adatta al contesto, ciò che costituisce un segno il segno di un determinato numero sono le regole di trasformazione del segno. Ne consegue, quindi, che loggetto del nostro studio è NON NUMERO SE STESSO MA LE REGOLE DI TRASFORMAZIONE DEI SEGNI NUMERICI .

Interseting, ma discutibile …

Più di 60 anni prima, Frege ha già criticato questa visione; vedi Gottlob Frege, Basic Laws of Arithmetic (1893), nuova traduzione inglese di Philip Ebert & Marcus Rossberg, Oxford UP 2013, pagina xiii:

[cè una] tendenza diffusa ad accettare solo ciò che può essere percepito come essere. […] Ora gli oggetti dellaritmetica, i numeri, sono impercettibili; come venire a patti con questo? Molto semplice! Dichiara che i segni numerici sono i numeri. […] A volte, sembra che i segni numerici siano considerati come pezzi degli scacchi e le cosiddette definizioni come regole del gioco. In tal caso il segno non designa nulla, ma è piuttosto la cosa stessa. Un piccolo dettaglio è trascurato in tutto questo, ovviamente; ovvero che un pensiero si esprime per mezzo di “3 ^ 2 + 4 ^ 2 = 5 ^ 2”, mentre una configurazione di pezzi degli scacchi non dice nulla.

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• Ricordo leccitazione che ho provato la prima volta che ho letto lintroduzione di Goodstein ‘. ‘ non è Frege, ma ‘ è fantastico ottenere una chiara dichiarazione di una visione, in modo che se uno non è daccordo, può dì esattamente con cosa.

Per chiarire la definizione di Fine di ” numero di oggetti “, che è abbastanza diverso dal ” moderno ” approccio insiemistico, penso possa essere utile riferirlo alla tradizione filosofica dellimpricismo britannico del XIX secolo.

In particolare, il filosofo John Stuart Mill ha dedicato parte del suo lavoro A System of Logic, Ratiocinative and Inductive (1843) alla discussione dei fondamenti dellaritmetica.

Ecco alcuni passaggi che, spero, possono chiarire la definizione di Fine:

Tre sassolini in due pacchi separati, e tre ciottoli in un pacco, non fanno la stessa impressione sui nostri sensi, – e laffermazione che gli stessi ciottoli possono essere fatti per unalterazione del luogo e della disposizione per produrre luna serie di sensazioni o laltra, sebbene molto proposizione familiare, non è identica. […]

Le verità fondamentali di quella scienza [la scienza dei numeri] si basano tutte sullevidenza del senso, sono dimostrate mostrando ai nostri occhi e le nostre dita che un numero qualsiasi di oggetti, ad esempio dieci palline, per separazione e riorganizzazione possono mostrare ai nostri sensi tutti i diversi insiemi di numeri la cui somma è uguale a dieci. ( CW VII, 256-57)

Quindi, quando diciamo che il cubo di 12 è 1782, ciò che affermiamo è questo: che se, avendo un numero sufficiente di ciottoli o di qualsiasi altro oggetto, li mettiamo insieme in th un particolare tipo di pacchi o aggregati chiamati dodici; e mettere insieme questi stessi in raccolte simili, – e, infine, formare dodici di questi pacchi più grandi: laggregato così formato sarà quello che chiamiamo 1728; vale a dire, ciò che (per prendere il più familiare dei suoi modi di formazione) può essere realizzato unendo il pacco chiamato mille ciottoli, il pacco chiamato settecento ciottoli, il pacco chiamato venti ciottoli e il pacco chiamato otto ciottoli. ( CW VII: 611-12)

Lapproccio naturalistico di Mill ai fondamenti di laritmetica si basa sui ” ” processi di unione e separazione che danno origine e scompongono ” aggrega ” di oggetti fisici.

La visione empirista di Mill è stata aspramente criticata da Gottlob Frege nel suo fondamentale Die Grundlagen der Arithmetik ( The Foundations of Arithmetic ) (1884).

Per unesposizione della filosofia della matematica di Mill, vedere Philip Kitcher, Mill, matematica e tradizione naturalistica , in John Skorupski (editore), The Cambridge Companion to Mill (1998), pagina 57 in poi.

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• Signore, grazie per questa altra risposta molto utile . Mi ci vorrà del tempo per leggere così tanti testi correlati (attualmente sto esaminando i libri che tu e altri hai menzionato prima). Esiste un libro definitivo completamente dedicato alla storia dellaritmetica ? Un libro che potesse spiegare le cose partendo dalla storia per poi passare finalmente a spiegare come si è affermata laritmetica moderna. Un libro che spiegherebbe tutte le cose correlate, cioè chi, come, quando, perché dellaritmetica. Tra un mese farò due domande molto filosofiche (e tecniche) sullaritmetica, ti faccio un ping.
• Sulla storia del ” moderno ” filosofia dellaritmetica , da Kant in poi (ma JSMill non è discusso) puoi vedere Michael Potter, Motivo ‘ s Nearest Kin: Philosophies of Arithmetic from Kant to Carnap (2002).

Nel libro, il “numero di cose” è effettivamente distinto dalla loro rappresentazione. Supponi di avere ospiti che desideri invitare a una festa. Qual è il numero di ospiti-cose che stai invitando?

Se stai invitando 5 amici, li chiameremo John, Fred, Mary, Jill e Barney. Ci sono 5 amici-ospiti- cose che stai invitando alla festa.

Ma ora, cosa succede se la festa è un ballo in maschera, e sono tutti travestiti? John è vestito da fantasma, Fred da goblin, Mary da strega, Jill da zucca e Barney da dinosauro. Solo perché ora sono fantasmi, goblin, streghe, zucche e dinosauri non cambia il numero di cose-amici-ospiti che hai invitato alla festa. Le loro caratteristiche sono cambiate: non assomigliano più ai tuoi amici, sembrano come i loro travestimenti.

E se i cinque di loro si vestissero tutti come fantasmi indistinguibili. Significa che diciamo che solo un fantasma è venuto alla tua festa? No, perché possono ancora essere distinti dal loro spazio località, ora di arrivo, altezza, peso, colore del foglio, ecc.

E se indossassero esattamente lo stesso costume e non ne vedessi mai più di uno alla volta, in modo che non ci fossero caratteristiche distintive che ne separassero uno amico da un altro Potresti non essere sicuro di quante cose ospite-amico-hai avuto alla tua festa.Questa trasformazione ha distrutto la distinzione che li separava prima di questo, quindi non è una trasformazione valida per enumerare il numero di cose.

Lidea del “numero di cose” rispetto ai tuoi inviti è specificamente di proprietà del gruppo in modo tale che qualsiasi modifica (riabilitazione, rinumerazione, riordino, ma NON duplicazione, eliminazione , o il conteggio dei sottoinsiemi) che preservano la distinzione degli elementi mantiene tale proprietà. Non si tratta di stabilire se il valore di quella proprietà sia o meno 1, 5 o un milione di miliardi, solo che il “numero di cose” è un valore finito che mantiene questa proprietà.

Per quanto riguarda in parole povere, il numero di cose è solo … il numero di elementi di interesse. Non diventa più semplice di così e poiché è un concetto così semplice, è molto difficile scrivere una definizione precisa che non causi problemi nelle possibili espressioni colloquiali.

Questa domanda (e molte delle risposte, del resto) trascura lo scopo della teoria matematica, che è trattare gli assiomi come qualcosa di dato. Partiamo dal presupposto che abbiamo una nozione di (ad esempio) distinzione, quindi esploriamo le conseguenze dellavere questa nozione.

In altre parole, è impossibile porre la domanda “Quanti elementi ci sono nellinsieme $ \ { A, A, B \} $? “Senza prima fornire assiomi di $ A $ e $ B $. Secondo la sintassi matematica standard, dovremmo fare questa domanda solo dopo aver rietichettato in $ \ {A, A”, B \} $ per evitare confusione, ma questa è una questione di comunicazione e praticità, non di dogmi e di certo non una sorta di verità sui set.

La matematica, nelle parole di Roberto Unger, è una “esplorazione visionariadi un simulacro del mondo “. Se non sei daccordo con la visione di qualcun altro, va benissimo. Ma se pensi di avere un problema con la matematica stessa, è probabile che tu stia generando le tue contraddizioni facendo un uso improprio del linguaggio. Se sei chiaro su quali proprietà dovrebbe avere la tua nozione di distinzione, allora si applica la teoria degli insiemi , è solo questione di come. Non si tratta di prescrivere una particolare forma di distinzione, ma piuttosto di esplorare i punti in comune tra tutte le forme di distinzione.

Sembra che la risposta alla tua domanda è strettamente intrecciata a cosa sia “una cosa”. Potresti essere consapevole che per quanto astratta possa essere una domanda, è stata ripetutamente posta nella comunità dei fisici nel contesto della teoria quantistica dei campi e delle basi della meccanica quantistica (vedi Paul Teller e Chris Isham, per esempio). Una delle conclusioni è che il concetto di una cosa come essenza a cui le proprietà “aderiscono” deve essere rifiutato. Questo è ciò che Teller descrive come il problema con il “formalismo dello spazio di Hilbert prodotto tensoriale etichettato”, poiché è incompatibile con i comportamenti fisici effettivamente osservati. Quindi, se vuoi una definizione universale di “numero di cose” non puoi “evitare queste considerazioni su cosa sia una cosa e su cosa sia la distinguibilità da un punto di vista fisico (a meno che tu non voglia una definizione che si applica a un universo che non è nostro).

Solo per darti un esempio, supponiamo che tu abbia un fotone nella mano destra e uno nella sinistra. Puoi distinguerli facendo riferimento alla mano in cui si trovano. Quindi il “numero di modi per metterli in tasca” è 2 (prima quello nella mano sinistra, poi quello nella mano destra o viceversa) . Tuttavia, una volta in tasca, diventano fisicamente indistinguibili e “il numero di modi per tirarli fuori” è 1 (ne esce uno, poi laltro).

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• Nei fotoni in un esempio tascabile che fornisci, i ‘ mi sembrano essere due fotoni. La loro identità (sinistra / destra) è persa (una, chissà quale, è la prima, laltra la seconda). Ce ne sono ‘ ancora due, anche se ‘ hai perso un po di informazioni. I dati persi sono della ” proprietà ” sinistra / destra, che non è ‘ una proprietà dei fotoni in generale. Sembra che tu stia dicendo che tutte le proprietà sono superflue in modo simile, ma non posso ‘ capire se stai dicendo che questo è un problema insormontabile per un ” definizione universale di ‘ numero di cose ‘ “. O le cose sono numerabili a prescindere?
• Oh sì, ci sono sempre 2 fotoni in giro. ‘ sto parlando della conseguenza della perdita di identità sulla nostra capacità di contare, e questa è una conseguenza della natura di ‘ una cosa ‘ come un fotone. Il comportamento opposto avviene per i fermioni, che devono essere sempre distinguibili e questo impedisce di stiparne troppi nello stesso posto (che è il principio di esclusione di Pauli).Quindi contare le cose (come nellesempio) contando i modi in cui puoi riorganizzarle non ‘ funziona sempre. Non ‘ non so se questo sia un problema insormontabile, ma sicuramente una definizione universale non può ignorarlo.