Prima di tutto vorrei ricordarti (o forse presentarti) un paio di aspetti della meccanica quantistica in generale come modello f o sistemi fisici. Mi sembra che a molte delle tue domande si possa rispondere con una migliore comprensione di questi aspetti generali, seguita da un appello a come i sistemi di spin emergono come un caso speciale.

Osservazioni generali sugli stati quantistici e sulla misurazione.

Lo stato di un sistema quantistico è modellato come un elemento di lunghezza unitaria $ | \ psi \ rangle $ di uno spazio di Hilbert complesso $ \ mathcal H $, un tipo speciale di spazio vettoriale con un prodotto interno. Ogni quantità osservabile (come quantità di moto o spin) associata a un tale sistema il cui valore si potrebbe voler misurare è rappresentata da un operatore autoaggiunto $ O $ su quello spazio. Se si costruisce un dispositivo per misurare tale osservabile, e se si utilizza quel dispositivo per effettuare una misurazione di quellosservabile sul sistema, la macchina produrrà un autovalore $ \ lambda $ di quellosservabile. Inoltre, se il sistema è in uno stato $ | \ psi \ rangle $, la probabilità che il risultato della misurazione di quella quantità sia lautovalore dellosservabile è \ begin {align} p (\ lambda) = | \ langle \ lambda | \ psi \ rangle | ^ 2 \ end {align} dove $ | \ lambda \ rangle $ è lautovettore normalizzato corrispondente allautovalore $ \ lambda $.

Specializzazione in sistemi di spin.

Supponiamo, ora, che il sistema che stiamo considerando sia costituito dallo spin di una particella. Lo spazio di Hilbert che modella lo stato di spin di un sistema con spin $ s $ è uno spazio di Hilbert $ 2s + 1 $ dimensionale. Gli elementi di questo spazio vettoriale sono spesso chiamati “spinori”, ma non lasciate che questo vi distragga, sono come qualsiasi altro vettore in uno spazio di Hilbert il cui compito è modellare lo stato quantistico del sistema.

Le osservabili primarie di cui si discute solitamente la misura per i sistemi di spin sono le componenti cartesiane dello spin del sistema. In altre parole, ci sono tre operatori autoaggiunti convenzionalmente chiamati $ S_x, S_y, S_z $ i cui autovalori sono i valori possibili si potrebbe ottenere se si misura uno di questi componenti dello spin del sistema. Lo spettro (insieme di autovalori) di ciascuno di questi operatori è lo stesso.Per un sistema di spin $ s $, ciascuno dei loro spettri è costituito dai seguenti valori: \ begin {align} \ sigma (S_i) = \ {m_i \ hbar \, | \, m_i = -s, -s + 1, \ dots, s-1, s \} \ end {align} dove nella mia notazione $ i = x, y, z $. Quindi, ad esempio, se costruisci una macchina per misurare il componente $ z $ dello spin di un sistema spin- $ 1 $, la macchina restituirà uno dei valori nellinsieme $ \ {- \ hbar, 0, \ hbar \} $ ogni volta. In corrispondenza di ciascuno di questi autovalori, ogni operatore di componente di spin ha un autovettore normalizzato $ | S_i, m_i \ rangle $. Come indicato dalle osservazioni generali precedenti, se lo stato del sistema è $ | \ psi \ rangle $, e si vuole conoscere la probabilità che la misura della componente di spin $ S_i $ dia un certo valore $ m_i \ hbar $ , quindi si calcola semplicemente \ begin {align} | \ langle S_i, m_i | \ psi \ rangle | ^ 2. \ end {align} Ad esempio, se il sistema ha spin- $ 1 $, e se si vuole conoscere la probabilità che una misura di $ S_y $ fornisca lautovalore $ – \ hbar $, allora si calcola \ begin {align} | \ langle S_y, -1 | \ psi \ rangle | ^ 2 \ end {align}

Spinors.

Nel contesto di cui sopra, gli spinori sono semplicemente le rappresentazioni di matrice di stati di un particolare sistema di spin in una certa base ordinata, e le matrici di spin di Pauli sono, fino a una normalizzazione, le rappresentazioni di matrice di gli operatori dei componenti di spin in quella base specificamente per un sistema con spin- $ 1/2 $. Le rappresentazioni di matrici spesso facilitano il calcolo e la comprensione concettuale, motivo per cui le usiamo.

Più esplicitamente, supponiamo di considerare un sistema di spin- $ 1/2 $ e di scegliere di rappresentare stati e osservabili nella base $ B = (| S_z, -1/2 \ rangle, | S_z, 1/2 \ rangle) $ costituito dagli autovettori normalizzati della componente $ z $ di spin, allora si troverebbero le seguenti rappresentazioni di matrice in quella base \ begin {align} [S_x] _B & = \ frac {\ hbar} {2} \ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix} = \ frac {\ hbar} {2} \ sigma_x \\ [S_y] _B & = \ frac {\ hbar} {2} \ begin {pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \ end {pmatrix} = \ frac {\ hbar} {2} \ sigma_y \\ [S_z] _B & = \ frac {\ hbar} {2} \ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \ end {pmatrix} = \ frac {\ hbar} {2} \ sigma_z \\ \ end {align} Notare che queste rappresentazioni sono precisamente le matrici di Pauli fino al fattore $ \ hbar / 2 $ aggiuntivo. Inoltre, ogni stato del sistema sarebbe rappresentato da una matrice $ 2 \ times 1 $, o “spinore” \ begin {align} [| \ psi \ rangle] _B = \ begin {pmatrix} a \\ b \ end {pmatrix }. \ end {align} E si potrebbero usare queste rappresentazioni per eseguire i calcoli di cui sopra.

Commenti

• Grazie mille; questo mi ha aiutato molto a capire. È solo una convenzione che gli autostati che restituiscono autovalori negativi siano spin ‘ down ‘ e spin positivo ‘ up ‘? Per verificare la mia comprensione, ho ‘ ho provato a calcolare lesempio che ho usato sopra: è vero che una particella di spin-1 misurata per essere alta nella dimensione x (autovalore hbar) essere nello stato normalizzato < 1/2, sqrt (2) / 2, 1/2 > e la probabilità della dimensione az la misura di ritorno verso lalto sarà quindi 1/4, lo spin zero di ritorno sarà 1/2 e verso il basso 1/4?
• +1 Mi piacciono particolarmente le tue ” macchine ” nel primo paragrafo – molto Feynmaniano nel sapore. Ho lottato per molti anni per ” capire ” QM: la matematica e la teoria della menzogna mi erano abituate, ma ci è voluto molto tempo per me per capire che gli ” operatori ” non solo operatori, ma hanno anche una ricetta speciale per interpretarli come modelli di ” macchine di misura “. Purtroppo, non posso ‘ ricordare se sono state le lezioni di Feynman o Sakurai a far passare il messaggio, o se effettivamente era un misto dei due nei miei pensieri sotto la doccia o mentre camminare, ma questo è ciò che consiglio alle persone adesso.

I gruppi sono strutture matematiche astratte, definite dalla loro topologia (nel caso di gruppi continui (Lie)) e dalloperazione di moltiplicazione.

Ma è quasi impossibile parlare di gruppi astratti. Questo è il motivo per cui di solito gli elementi dei gruppi sono mappati su operatori lineari che agiscono su uno spazio vettoriale $ V $:

$$ g \ in G \ rightarrow \ rho (g) \ in \ text {End} (V ), $$

dove G è il gruppo, $ \ text {End} (V) $ sta per endomorfismi (operatori lineari) su $ V $ e $ \ rho (g) $ è la mappatura .Affinché questa mappatura sia significativa, dobbiamo mappare correttamente la moltiplicazione del gruppo:

$$ \ rho (g_1 \ circ g_2) = \ rho (g1) \ cdot \ rho (g2). $$

Anche linverso è mappato a

$$ \ rho (g ^ {- 1}) = \ rho (g) ^ {- 1} $$

e lidentità del gruppo è solo

$$ \ rho (e) = \ text {Id} _V. $$

Questa è chiamata la rappresentazione del gruppo $ G $. $ V $ si trasforma sotto la rappresentazione $ \ rho $ del gruppo $ G $.

Nel tuo caso, il gruppo di interesse è il gruppo di rotazioni in 3 dimensioni che di solito è indicato come SO (3). Il nostro obiettivo è trovare diversi oggetti che possono essere ruotati, cioè rappresentazioni (e spazi di rappresentazione) di SO (3).

Una di queste rappresentazioni è la rappresentazione di definizione (che è usata per definire SO (3)) o la rappresentazione vettoriale. In questo caso $ V $ è solo $ R ^ 3 $ e le matrici da $ \ rho (\ text {SO (3)}) $ sono ortogonali $ 3 \ times 3 $ matrici con determinante di unità:

$ $ A ^ {T} A = 1; \ quad \ det A = 1 $$

Quindi i vettori possono essere ruotati in 3 dimensioni. Il risultato di tale rotazione di $ g \ in \ text {SO (3)} $ è determinato agendo sul vettore iniziale con loperatore $ \ rho (g) $.

Unaltra rappresentazione è lo spinore rappresentazione. Lo spazio vettoriale è ora bidimensionale e complesso . Limmagine di questa rappresentazione è costituita da $ 2 \ times 2 $ unitari con determinante di unità:

$$ A ^ {\ dagger} A = 1; \ quad \ det A = 1. $$

Questa rappresentazione non è così ovvia come la precedente, poiché gli spinori sono qualcosa che di solito non vediamo nella vita di tutti i giorni. Ma si può dimostrare matematicamente che queste rappresentazioni sono isomorfe e quindi sono due diverse rappresentazioni dello stesso gruppo (in realtà sono omomorfe e la rappresentazione degli spinori è la doppia copertura della rappresentazione vettoriale).

Passiamo ora alle matrici di Pauli. Esiste un principio generale: per ogni gruppo di Lie $ G $ esiste un corrispondente lineare spazio (algebra di Lie) con una parentesi di Lie (unoperazione anti-commutativa che soddisfa lidentità Jacobi) che mappa in modo univoco su qualche quartiere dellunità di gruppo di $ G $. Questa mappatura è chiamata esponenziale.

Quindi si può scrivere una matrice arbitraria (abbastanza vicina allunità da evitare problemi topologici globali) $ 2 \ times 2 $ matrice complessa fr dalla rappresentazione dello spinore nella forma

$$ A = \ exp \ left [\ frac {i} {2} \ alpha ^ a \ sigma_a \ right], $$

dove $ \ alpha ^ a $ sono tre numeri che parametrizzano lelemento del gruppo la cui rappresentazione è $ A $ e $ \ frac {i} {2} \ sigma_a $ sono la base algebrica di Lie, con $ \ sigma_a $ – 3 $ 2 \ volte 2 matrici $ Pauli. Questa equazione specifica praticamente come uno spinore viene trasformato sotto una rotazione arbitraria.

Nella rappresentazione vettoriale cè anche una base algebrica di Lie, che consiste di 3 $ 3 \ x 3 $ matrici.

Ci sono altre due interpretazioni delle matrici di Pauli che potresti trovare utili, anche se solo dopo aver compreso Leccellente descrizione fisica di JoshPhysics . Quanto segue può essere interpretato più come ” curiosità funky ” (allindirizzo almeno le trovo interessanti) sulle matrici di Pauli piuttosto che su uninterpretazione fisica.

1. Come base per $ \ mathfrak {su} (2) $

La prima interpretazione è variamente vista come (i) sono unità quaternioni, modulo un cambio di segno e riordino della definizione del matematico di queste bestie , (ii) come base per lalgebra di Lie $ \ mathfrak {su} (2) $ di $ SU (2) $ quando usiamo la matrice esponenziale per recuperare il gruppo $ SU (2) = \ exp (\ mathfrak {su} (2)) $ fino a (iii) una generalizzazione tridimensionale di Teorema di De Moivre .

Una matrice hermitiana inclinata pan class = “ $ 2 \ times2 $ generale, senza traccia math-container “> $ H $ può essere scomposto in modo univoco come:

$$ H = \ alpha_x \ sigma_x + \ alpha_y \ sigma_y + \ alpha_z \ sigma_z \ tag {1} $$

con $ \ alpha_x, \, \ alpha_y, \, \ alpha_z \ in \ mathbb { R} $ . Questa matrice soddisfa lequazione caratteristica $ H ^ 2 = – \ frac {\ theta ^ 2} {4} \, \ mathrm {id} $ , dove $ \ mathrm {id} $ è lidentità $ 2 \ times2 $ e $ \ frac {\ theta} {2} = \ sqrt {\ alpha_x ^ 2 + \ alpha_y ^ 2 + \ alpha_z ^ 2} $ .Quindi, se distribuiamo la serie esponenziale di Taylor della matrice convergente universalmente e quindi riduciamo tutte le potenze di $ H $ più alte del termine lineare con lequazione caratteristica, otteniamo:

$$ \ exp \ left (H \ right) = \ cos \ left (\ frac {\ theta} {2} \ right) \ mathrm {id} + \ hat {H} \ sin \ left (\ frac {\ theta} {2} \ right) \ tag {2} $$

che è visto come una generalizzazione di De Formula di Moivre per l ” ” unità ” $$ \ hat {H} = \ frac {\ alpha_x \ sigma_x + \ alpha_y \ sigma_y + \ alpha_z \ sigma_z} {\ sqrt {\ alpha_x ^ 2 + \ alpha_y ^ 2 + \ alpha_z ^ 2}} \ tag {3 } $$

e tutti i membri di $ SU (2) $ possono essere realizzati da un esponenziale come in (2) (ma tieni presente che lesponenziale di unalgebra di Lie, sebbene lintero gruppo di $ SU (2) $ in questo caso, non è sempre lintero gruppo di Lie a meno che il lat ter è (i) connesso e (ii) compatto). Pertanto ogni membro di $ SU (2) $ può essere scomposto come una ” sovrapposizione di lunghezza unitaria delle matrici di Pauli e della matrice identità.

La ragione per il fattore 2 nella definizione $ \ theta / 2 $ è finora misteriosa: testimonia che ai fini di quanto sopra, avremmo potuto altrettanto facilmente sostituire $ \ theta / 2 $ con $ \ theta $ . Il motivo è legato al rapporto tra le matrici di Pauli e la sfera celeste, di cui parlerò più avanti. I quaternioni rappresentano le rotazioni attraverso una mappa dello spinore ( MA , come consiglia Joshphysics, non farti distrarre troppo da questa parola); se un vettore in 3 spazi è rappresentato da un quaternione puramente immaginario della forma $ x \, \ sigma_x + y \, \ sigma_y + z \, \ sigma_z $ , quindi la sua immagine sotto una rotazione di un angolo $ \ theta $ attorno a un asse con direzione coseni $ \ gamma_x, \, \ gamma_y, \, \ gamma_z $ è dato da:

$$ x \, \ sigma_x + y \, \ sigma_y + z \, \ sigma_z \ mapsto U \, (x \, \ sigma_x + y \, \ sigma_y + z \, \ sigma_z) \, U ^ \ dagger; \ quad U = \ exp \ left (\ frac {\ theta} {2} (\ gamma_x \, \ sigma_x + \ gamma_y \, \ sigma_y + \ gamma_z \, \ sigma_z) \ right) \ tag {4} $$

Questa mappa spinore è un esempio del gruppo $ SU (2) $ agisce sulla propria algebra di Lie attraverso la rappresentazione aggiunta. Può essere intuitivamente compresa in termini di una regola triangolare per elaborare le composizioni di due rotazioni, come abbozzato nel diagramma qui sotto. Gli archi sulla sfera unitaria rappresentano una rotazione di un angolo doppio rispetto a quello dato dallangolo sotteso dallarco allorigine.

Lo spiego in dettaglio in Esempio 1.4 ” $ 2 \ times2 $ Unitary Group $ SU (2) $ ” sulla mia pagina web ” Alcuni esempi di gruppi di bugie connessi ” qui .

Cè anche la mia dimostrazione interattiva di Mathematica ” La $ SU (2) $ Mappa di rotazione: composizione di rotazione tramite triangoli di quaternione grafici ” sul sito Wolfram Demonstrations .

2. La sfera celeste

Espandendo lo spazio lineare tridimensionale delle sovrapposizioni di matrici di Pauli (che è lo stesso dello spazio lineare di traceless $ 2 \ times2 $ skew-Hermitian matrici) allo spazio quadridimensionale attraversato dalle matrici di Pauli e dalle matrici di identità, quindi qualsiasi trasformazione dal gruppo $ SL (2, \ , \ mathbb {C}) $ agisce sui vettori della forma $ t \, \ mathrm {id} + x \, \ sigma_x + y \, \ sigma_y + z \, \ sigma_z $ dalla stessa mappa spinore della (4). Se ci limitiamo ai raggi proiettivi in questo spazio, il gruppo $ SL (2, \, \ mathbb {C}) $ , isomorfo al gruppo di Moebius di Le trasformazioni di Möbius agiscono su questo spazio di raggi esattamente nello stesso modo in cui le trasformazioni di Möbius (lineare frazionaria) agiscono sulla sfera di Riemann. $ SL (2, \, \ mathbb {C}) $ è una doppia copertina del gruppo di Lorentz e puoi calcolare come cambia la vista di un astronauta mentre subiscono trasformazioni di Lorentz. Consulta la la sezione ” Lorentz Transformations ” su Wikipedia ” Möbius Transformation ” page per ulteriori dettagli.

Una spiegazione meccanica generale. I campi e le onde seguono equazioni iperboliche (equazioni delle onde). Questi rappresentano lavanzamento nello spazio e nel tempo, e come tali non possono rappresentare la massa che deve essere stazionaria, ma potrebbe anche essere in rotazione. Tale movimento richiede unequazione ellittica. Ad esempio, lequazione di Kline-Gordon è iperbolica, mentre lequazione di Dirac è ellittico. In un fluido che scorre cè un esempio parallelo. Vortici e turbolenze non possono formarsi senza laiuto di un confine, per deviare il flusso dallavanzare allo stato circolante. La prima regione è iperbolica e la seconda è ellittica.

Ora per creare una particella (energia rotante) da un campo (che si muove in posizione) dobbiamo deviare / ruotare la direzione del campo. È qui che le matrici di Pauli vengono in aiuto e danno lellitticità richiesta. Questo è il motivo per cui vengono utilizzati numeri / rotazione immaginari. Moltiplicando una quantità per i la ruota di 90 gradi, per un angolo generale usiamo lesponenziale di una quantità immaginaria.

Successivamente, quando mescoliamo le lagrangiane di onde e particelle in un modello più generale, torniamo per utilizzare Higgs per fare lo stesso lavoro di trasformazione da un tipo di energia allaltro, cioè da campi a particelle e viceversa.