Il mondo è nel caos adesso? Perché uno più uno non è uguale a due, almeno non sempre .

Prendi un litro dacqua e un litro di sabbia. Aggiungili insieme. Che cosa ottieni? Sabbia bagnata, ma certamente non due litri.

Prendi un coniglio e aggiungine uno. Aggiungili insieme. Hai una ragionevole possibilità di ritrovarti con un po più di due conigli, se aspetti un periodo di tempo sufficiente.

Anche nel regno della matematica pura uno più uno non è necessariamente uguale a due. Se “stai lavorando con modulo due aritmetica , 1 + 1 = 0. Se” hai a che fare con modulo due aritmetica e 1 + 1 = 2, tu ” ho fatto qualcosa di molto sbagliato. – Inoltre, non è come se laritmetica modulo due fosse unoscura nota a margine – il tuo computer la sta usando proprio ora sotto forma di “xor bit per bit”, ei computer moderni non potrebbero funzionare senza di essa. (Anche se è vero che laritmetica modulo due è piuttosto semplice nelle sue proprietà, quindi non ci sono molti matematici che si preoccupano di studiarla.)

Matematica si basa sugli assiomi – ipotesi sulle proprietà di un sistema – e sulle implicazioni che seguono logicamente da quei sistemi. Se una di queste implicazioni risulta essere “controfattuale”, allora o la logica non era valida, o uno degli assiomi non era corretto per quel sistema. – Per quel sistema è un bit importante. Solo perché qualcosa è controfattuale per un insieme di assiomi non significa che è contro-fattuale per un diverso insieme di assiomi.

Prendi lassioma parallelo di Euclide. Includere quelli con il resto degli assiomi di Euclide e otterrai la geometria euclidea. Questa è la geometria “standard” che tu ed io conosciamo e con cui opera una parte sostanziale dei matematici. Tuttavia , puoi impostare diverse geometrie dove “non regge . In effetti, la fisica moderna ci dice che “stiamo effettivamente vivendo in una geometria non euclidea – la fisica avanzata non funzionerebbe in una vera geometria euclidea dove vale lassioma parallelo.

Ora questo significa che le geometrie euclidee e lassioma parallelo è sbagliato? No. “È un costrutto matematico perfettamente valido che centinaia di migliaia di matematici e ingegneri – e fisici – usano quotidianamente. Il fatto che la geometria euclidea abbia assiomi che producono risultati incoerenti con il mondo osservato non “significa che la geometria euclidea non è valida, significa solo che quegli assiomi non si applicano al sistema che stai osservando. Non significa che abbiano vinto “Non si applicano – o anche se non sono i migliori da usare – in qualche altra situazione.

Quindi 1 + 1 = 2 è unosservazione molto conveniente e vale in molti casi. Ma non tutto. A volte 1 + 1 = 0 o qualche altro numero.Solo perché gli assiomi dellaritmetica dei numeri naturali standard non valgono per un particolare sistema non significa che non siano validi, significa semplicemente che non sono applicabili a quel sistema, e devi inventare un altro insieme e un altro sistema aritmetico.

Oppure potresti ridefinire il tuo sistema in modo che gli assiomi valgano. (Questo è quello che fanno le persone che digitano freneticamente “Ma se tu …” i commenti qui sotto. “Se li tieni in contenitori separati, se” sono entrambi femmine, se ignoriamo il modulo aritmetico … “Se ridefinisci cose tali che gli assiomi valgono, le conseguenze logiche di quegli assiomi seguono logicamente.)

Commenti

• Un esempio più convincente sarebbe mescolare 1 litro di acqua con 1 litro di alcol (né la cosa sabbia / acqua né quella del coniglio mi danno una buona impressione di violare 1 + 1 = 2).
• Nitpicks: In modulo due aritmetica, 2 ~ = 0 (sono ' nella stessa " classe di equivalenza "), quindi puoi dire validamente 1 + 1 = 2, o 1 + 1 = 42, o 1 + 1 = -9002. Non hai ' fatto nulla di sbagliato se dici 1 + 1 = 2 in mod 2. Secondo, sebbene laritmetica modulo due sia semplice, la matematica risultante può essere decisamente non banale. I polinomi su GF (2) sono alla base di una quantità significativa di crittografia moderna e codici di correzione degli errori, e fanno anche la loro comparsa in quei codici QR onnipresenti.
• La tua risposta mi sembra abbastanza confusa poiché contiene tanti piccoli errori che penso. 1 + 1 = 2 è unaffermazione matematica, nel qual caso la tua risposta non capisce che questa non è una verità fondamentale, o sulle cose del mondo reale. In questo caso, quello che vuoi dire è: 1 + 1 non è = 2, a volte può essere ma ' non è di gran lunga una verità fondamentale. Se discuti nel secondo modo, indica che la tua risposta non è matematica e lascia la matematica accanto.
• Che assurdità assoluta! In assenza di annotazioni esplicite, 1+1=2 è una pura equazione matematica. Se vuoi entrare nella chimica, devi prima dirlo. Idem per il modulo aritmetico o per i numeri che risultano essere logaritmi.
• @CarlWitthoft Ma questo ' è il punto, è ' non è una sciocchezza. Hai alcune ipotesi implicite. Se qualcuno scoprisse che 1+1 != 2, ciò significherebbe che uno dei presupposti era errato. Puoi occuparti di quelle aree in cui tali presupposti non ' si applicano tutto ciò che desideri, devi solo dichiararli. In effetti, esattamente questo è accaduto quando siamo passati dalla meccanica newtoniana alla relatività.

Come qualsiasi matematico farà vi dico, 1 + 1 = 2 segue banalmente dalle definizioni e non è un teorema. La tua domanda non ha senso.

È come se avessi dichiarato:

Definisco 1 zoom fluido esattamente 30 millilitri.

Ma cosa succede se si scopre che mi sbaglio?

È la tua definizione. Non può essere sbagliato perché il fluido zoppia, prima della tua definizione, semplicemente non esisteva.

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• Si potrebbe leggere la loro domanda, in modo più caritatevole, come " e se scopriamo che 1 + 1 = 2 non deriva dai ' postulati di Peano? ", quindi mantiene qualunque margine filosofico abbia?
• Contesterei che ogni matematico dirà che 1 + 1 = 2 è una definizione. Capisco ovviamente il tuo punto ma in generale 2 sarà S (S (0) ) anziché 1 + 1. Quindi ' è un argomento da sostenere che S (S (0)) = S (0) + S (0) ' un argomento banale direttamente dalla definizione di +, ma che alla fine finisce per essere un po complicato a causa dellintera induzione infinita di cui hai bisogno quando vuoi che funzioni in generale.
• @DRF Ritengo che OP forse non ha familiarità con laritmetica di Peano, da qui leccessiva semplificazione. Ma capisco che è necessario definire + dopo aver definito 0 e S (.) – tuttavia, come dici tu, è quindi un passaggio banale 1: = S (0) e 2: = S (1). Anche se sostengo lidea generale che queste siano tutte affermazioni assiomatiche o definitive che possono essere confutate solo se si sceglie una definizione diversa di +, il che non sarebbe affatto una confutazione. Sarebbe solo una definizione diversa.
• @Schiphol Non ' intendo essere eccessivamente sprezzante della domanda, ma non vedo che ne abbia bordo filosofico, o anche necessariamente che Peano ha bisogno di essere portato in esso. La domanda sembra essere basata solo su un malinteso, come se una confutazione di 1 + 1 = 2 potesse avere una forma distinguibile, o che tutti noi collasseremmo in un buco nero se dovesse accadere.Sarebbe completamente unaltra cosa se fosse formulato come il più consequenziale ma equivalente ' perché possiamo tranquillamente assumere 0 ≠ 1 e quali sono gli argomenti più forti per il contrario? '
• @EricDuminil, Merriam-Webster definisce letteralmente " due " essere " è uno in più di uno nel numero ", che è esattamente S(S(0)). Quindi in questo caso abbiamo sicuramente una definizione.

equazione fondamentale

La tua supposizione è sbagliata. 1 + 1 = 2 non è un assioma della matematica, ma (come sottolinea Sputnik) una conseguenza degli assiomi di Peano applicati a base 10 rappresentazioni di numeri.

Si può facilmente passare da decimale (base 10) a unario (base 1) e pronuncia:

1 + 1 = 11.

Oppure cambia in binario (in base 2, ciò che il tuo computer utilizza effettivamente) e pronuncia:

1 + 1 = 10.

E per il gusto di farlo, posso inserire numeri romani :

I + I = II.

Quindi, ci sono rappresentazioni in cui 1 + 1 è non 2 (e anche i sistemi in cui non è presente il glifo 1), ma luniverso non è imploso ma proprio per questo.

Ora, e se la tua domanda fosse più simile e …

E se gli assiomi di Peano contraddicessero le osservazioni del mondo naturale?

In tal caso, la mia risposta sarebbe duplice:

• La matematica basata sugli assiomi di Peano sarebbe ancora utile
• I matematici ne inventerebbero unaltra insieme di assiomi che si adatterebbero al mondo naturale, insieme alla matematica basata su quei nuovi assiomi

Per capirlo, prendi ad esempio newtoniano fisica : sono un grande insieme di regole matematiche costruite sopra alcuni assiomi che si adattano perfettamente alle osservazioni del mondo naturale.

Ma poi Einstein notò che alcuni assiomi non si adattavano veramente (in particolare quando le cose vanno alla velocità della luce), e ha inventato la fisica relativistica , che praticamente invalida tutta la fisica newtoniana.

Anche noi sappiamo che la fisica newtoniana ha torto (perché si basa su un modello troppo semplice), sono uno strumento valido per molti problemi.

Lo stesso con laritmetica basata su Peano: anche se non si adattano a qualche osservazione nel mondo naturale, sarebbero comunque buoni strumenti. E come conseguenza dellinidoneità, un altro insieme di matematica potrebbe derivarne.

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• Il simbolo " 1 " sarebbe normalmente definita come identità moltiplicativa e " 2 " sarebbe normalmente definito come la somma dellidentità moltiplicativa con se stesso. Quell1 + 1 = 2 non sarebbe ' un " assioma ", ma piuttosto essere implicito piuttosto direttamente da queste definizioni. Se si dovessero definire i simboli in modo diverso, lequazione che utilizza quei simboli potrebbe non essere valida, ma laggiunta dellidentità moltiplicativa a se stessa produrrebbe comunque la somma dellidentità moltiplicativa e di se stessa, indipendentemente da quali simboli fossero necessari per scrivere quel fatto.
• Grazie per aver parlato della fisica newtoniana rispetto alla fisica relativistica, perché scoprire 1c + 1c != 2c è esattamente quello che è successo. La matematica era corretta, ma il nostro modello per laggiunta di velocità era sbagliato ad alte velocità , quindi abbiamo corretto il modello per abbinare le osservazioni . Deve tenere conto del fattore di Lorentz ad alte velocità. Problemi simili con la meccanica classica rispetto a quella quantistica.
• Inoltre, ' non vedete molti matematici arabi affermare che, poiché usano numeri diversi, hanno quindi smentito 1 + 1 = 2. Quindi è ' un peccato che la prima parte di questa risposta sia sbagliata, perché la seconda parte è molto buona.
• @SteveJessop Almeno in parte perché 1 , 2 e così via sono numeri arabi. Ma il tuo punto di vista generale è valido. (cioè ' è un peccato che la prima parte del tuo commento sia sbagliata, perché la seconda parte è molto buona.)
• Un cavillo. La fisica newtoniana non è " sbagliata. " Funziona perfettamente nel contesto in cui è stata scoperta.Non ho mai avuto bisogno di usare la relatività generale in nessuno dei miei 30 anni di lavoro relativo alla fisica. La meccanica newtoniana mi ha separato bene e correttamente nel mio contesto. Quello che fa la Relatività è estendere la fisica newtoniana per spiegare adeguatamente i fenomeni che si verificano a velocità prossime alla luce ed espandere la gamma di contesti in cui possiamo ragionare adeguatamente sulla gravità e la luce.

Se 1 + 1! = 2, allora 1 – 1! = 0, il che significa che la carica sui protoni in un nucleo non annulla più il carica sugli elettroni. Così tutti gli atomi acquisiscono una carica elettrica netta e tutti i corpi macroscopici vengono attratti (o respinti) luno dallaltro con una forza incredibile – 36 ordini di grandezza più forte della gravità. Ciò frantumerebbe lintero universo in una polpa subatomica in un ordine piuttosto breve …

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• Certo, ma anche non lo faccio.
• Inversione protonica totale? Attraversare i flussi è brutto, Ray.
• Questa è in realtà lunica risposta che ' ho letto qui che presenta una teoria sul " cosa accadrebbe " parte della domanda. Bravo, Oscar.
• " Se 1 + 1! = 2, allora 1 – 1! = 0 " Non ' lo capisco. Come viene fatta questa conclusione?
• @CPHPython Ciò potrebbe accadere se 1 + 1 = 2 è falso ( e se la carica elettrica obbedisce alle regole di + ). Ma se ' è confutato , significa semplicemente che il modo in cui eseguiamo le confutazioni è infranto.

Ciò che accadrebbe è concettualmente molto semplice. Larticolo che dimostra “¬1 + 1 = 2” verrà rinominato “ Zermelo – Fraenkel Set Theory is inconsistent ” e pubblicato.

Da lì diventa più difficile. A seconda di come funziona la dimostrazione, dovremmo ritrovarci con un nuovo teorema dellinsieme più debole con il risultato di ripristinare la coerenza. O qualcosa di peggio; l Peano Axioms potrebbe non essere valido con la conseguenza di, beh, francamente non lo so. Alcune operazioni che eravamo abituati a fare vanno via, ma ha vinto “t essere addizione. Laddizione intera non può” essere confutata nel regno finito (grazie alla scienza!) così qualcosaltro sulla via del controprova viene buttato fuori. Forse la gestione dellinfinito è sbagliata in tutta la matematica. Forse qualcosaltro. Mi dispiace se suona come una speculazione. La speculazione è in effetti nella domanda. Dipende da quanto grande è il buco che vuoi fare.

Sul lato pratico, sappiamo già cosa succede . 1 + 1 = 2 sarà ancora vero per qualsiasi dominio e caso duso ragionevole, quindi continueremo a usarlo. Dopo un po , la modalità di errore sarà compresa ed esclusa con cura (o non così attentamente) come facciamo in Informatica per overflow ora.

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• " La teoria degli insiemi di Zermelo – Fraenkel non è coerente " – o un titolo ancora migliore, se la dimostrazione ' t richiedeva tutti gli assiomi ZF.
• Pudlak teorizza che se un È stata trovata una contraddizione negli assiomi di Peano, avremmo iniziato a restringere lassioma di induzione alle formule " small ", per definire il piccolo probabilmente ripristinerebbe la coerenza.
• E questo genere di cose è già accaduto ed una volta con Russel ' s Paradox. (Tranne che non ' so che la teoria degli insiemi di Cantor ' era comunemente considerata una buona base per tutta la matematica allepoca come ZF [C] è ora.)

1 + 1 = 2 è una verità necessaria — più o meno, unaffermazione che è vera in ogni mondo possibile. La tua domanda, quindi, richiede dei veri condizioni controfattuali con antecedenti impossibili. Questi sono talvolta chiamati counterpossibles (ad esempio, la sezione 5.1 qui ).

La visualizzazione tradizionale era quella tutti questi contropossibili sono banalmente veri. Secondo questa visione, “se uno più uno non fossero due, allora q ” sarebbe vero per q arbitrario. Più recentemente, diversi filosofi hanno affermato che dare un senso alla scienza e al ragionamento quotidiano richiede una semantica per i contropossibili che non implica banalmente la loro verità. Vedi i riferimenti a questo dibattito nellultima voce SEP collegata a sopra.

In ogni caso, stai tranquillo, uno più uno è necessariamente uguale a due.

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• " in ogni mondo possibile ". Questo è discutibile. Può esserci un mondo che non possiamo ' capire e persino immaginare poiché è ' le leggi logiche (e aritmetiche se esistono anche lì) sono completamente diversi.
• @ rus9384 il consenso tra i teorici che lavorano su questo argomento è che le verità logiche sono necessarie. Supponendo qui che lOP non sia interessato a contestare la verità degli assiomi di Peano, allora è necessario 1 + 1 = 2, che segue da questi assiomi. Nella concezione del mondo possibile della necessità, essere necessari significa solo essere veri in ogni mondo possibile. Poiché, come dici tu, a volte abbiamo bisogno di ragionare su stati di cose impossibili, alcune teorie funzionano con una nozione di mondo impossibile proprio per questo scopo.
• Quindi, quel mondo è impossibile, perché ' non ci pensi? I non vedenti non possono ' vedere, ma questo ' non è il problema. Ci sono colori che altri animali percepiscono che non abbiamo ' percepire (a meno che la tecnologia non avanzerà abbastanza). È solo così che il nostro senso della logica non consente la percezione di altri sistemi logici. E non possiamo ' essere sicuri che gli assiomi di Peano funzionino davvero nel nostro mondo. Anche 1 + 1 = 2 può essere contestato a livello quantistico.
• Bene, diciamo questo ': la possibilità è una nozione utile, in quanto non tutti i pozzi -la frase formata nellindicativo rappresenta un possibile stato di cose. Prendi una frase che esprima una di quelle cose impossibili. Come dovremmo ragionare su di loro? Alcuni dicono: postulando mondi extra in cui per impossibile queste cose sono vere.
• @ rus9384 Non ' penso 1+ 1 = 2 può essere contestato a qualsiasi livello. Quello che potresti contestare è che gli assiomi di Peano modellano bene il mondo a livello quantistico. Ciò ' non fa sì che 1 + 1 = 2 non sia vero, dati gli assiomi di Peano.

La dimostrazione deve essere stata eseguita in una sorta di sistema formale, altrimenti non è tanto una dimostrazione quanto un argomento persuasivo. Quindi, abbiamo una dimostrazione in qualche sistema dellenunciato 1 + 1! = 2.

I filosofi in materia di logica, e matematici, esaminerebbero attentamente i dettagli di questa dimostrazione. Poiché tutti i sistemi formali a cui chiunque è interessato dimostrano lopposto di questa affermazione, anche provare questa affermazione dimostra che qualunque sistema è stato utilizzato, è incoerente. Quindi quel sistema non potrebbe più essere utilizzato per un lavoro serio. Pertanto, i logici avrebbero imparato qualcosa di estremamente importante su quel particolare sistema logico, e loro vorrebbe sapere quali altri sistemi la stessa tecnica si dimostrerà incoerente.

Luniverso non potrebbe essere “gettato nel caos” a meno che non si creda in una sorta di (oserei dire y it: magico?) effetto con il quale il movimento delle stelle nella galassia di Andromeda è significativamente influenzato dai segni che fai su un pezzo di carta sulla Terra. Un solipsista potrebbe, suppongo, credere che luniverso sia sostenuto unicamente dalla loro fede personale nella coerenza logica, e quindi che luniverso sarebbe fondamentalmente alterato dalla lettura di questa dimostrazione. La maggior parte delle persone ha abbastanza fiducia nellesistenza di una realtà esterna, da non credere che luniverso abbia alcun interesse in ciò che gli esseri umani fanno o non producono.

Mi aspetto che i filosofi non siano interessati alla logica e alla prova formale. i sistemi ignorerebbero per lo più il risultato, almeno fino a quando i logici non spiegassero loro esattamente in quali condizioni (i non logici) stanno effettivamente utilizzando lo stesso sistema difettoso che dimostra 1 + 1! = 2, e quindi di quale ragionamento hanno bisogno smettere di usare.

Naturalmente dipende anche in una certa misura da cosa intendi per confutare che 1 + 1 = 2. Si potrebbe immaginare una “prova fisica” piuttosto che logica formale. Se intendi dire che qualcuno ha dimostrato di poter mettere unarancia in una ciotola vuota, e poi mettere unaltra arancia nella stessa ciotola, e nessunaltra arancia è stata aggiunta o rimossa e che la ciotola ora contiene un numero di arance diverso da 2, si potrebbe dire che “hanno dimostrato 1 + 1! = 2. Ma laspettativa di tutti è che in realtà sia coinvolto un qualche tipo di processo fisico precedentemente sconosciuto che coinvolge le arance. Quindi, anche se hai scoperto qualcosa che cambia davvero le nostre nozioni sulla natura della realtà, non è perché l “equazione fondamentale” è logicamente sbagliata, ma perché le arance (o oggetti fisici in generale) apparentemente non obbediscono più allaritmetica, e quindi lequazione non è più applicabile a loro. Naturalmente, questo sarebbe estremamente preoccupante, perché gli esseri umani fanno sempre affidamento sulla capacità di contare le cose, e quindi la società umana potrebbe finire nel caos.

Forse rilevante per la discussione è Matematica incoerente :

è lo studio di oggetti matematici comuni, come insiemi, numeri e funzioni, dove alcune [ enfasi aggiunta ] sono consentite.

E vedi la discussione sull Aritmetica :

Unaritmetica incoerente può essere considerata unalternativa o una variante sulla teoria standard, come una geometria non euclidea.

Gli assiomi standard dellaritmetica sono di Peano e le loro conseguenze, la teoria standard dellaritmetica, sono chiamate PA . Il modello aritmetico standard è N = {0, 1, 2, …} , zero e i suoi successori.

I modelli coerenti non standard sono tutti ex tensioni del modello standard, modelli contenenti oggetti extra. I modelli incoerenti di aritmetica sono il duale naturale, dove il modello standard è esso stesso unestensione di una struttura più basilare, che rende vere anche tutte le frasi giuste.

Laritmetica incoerente è stata studiata per la prima volta da Robert Meyer nel 1970 “s. Là prese la logica paraconsistente R e vi aggiunse gli assiomi che governano il successore, laddizione, la moltiplicazione e linduzione, dando il sistema R #.

Nel 1975 Meyer dimostrò che il suo arithemtic non è banale, perché R # ha modelli. In particolare, R # ha modelli fi niti con un dominio a due elementi {0, 1} , con la funzione successore si muove in un cerchio molto stretto sugli elementi.

Questi modelli rendono veri tutti i teoremi di R #, ma mantengono equazioni come 0 = 1 semplicemente falso.

E allora? Forse possiamo sopravvivere a un (limitato?) quantità di incoerenza .

Ma considera questo pensiero h-experiment, basato su un esempio intuitivo derivato dallanalisi Graham Priest della struttura generale dei modelli di aritmetica inconsistente:

immagina il modello aritmetico standard, fino a un elemento incoerente

n = n + 1 .

Si sospetta che questo n sia molto , numero molto elevato [ enfasi aggiunta ], " senza realtà fisica o significato psicologico. " A seconda dei tuoi gusti, è il numero finito più grande o il numero meno incoerente. Immaginiamo inoltre che per j, k > n , abbiamo j = k .

Se nel modello classico j ≠ k , anche questo è vero; quindi abbiamo unincongruenza, j = k e j ≠ k . Qualsiasi fatto vero per numeri maggiori di n è vero per n , perché dopo n , tutti i numeri sono identici a n .

Nessun dato del modello coerente viene perso.

Ma ora considera il caso in cui n è molto molto grande ma non " senza significato psicologico " e immagina che il tuo conto bancario si aggiunga a un importo di n USD (o GBP o qualsiasi altra cosa).

Da quel momento il conto bancario non crescerà più, senza " interruzioni " nelle solite leggi dellaritmetica.

Possiamo considerarlo come un caso di " luniverso venga gettato nel caos " ?

Matematica e / o scienza migliorerebbero.

I matematici cercano e usano schemi per formulare nuove congetture; risolvono la verità o la falsità delle congetture mediante prove matematiche ( da wikipedia ). Potremmo sostenere che 1 + 1 = 2 deriva dalla definizione non dalla prova che rende la domanda discutibile o mal formata. Ma la tua domanda è ancora valida in un senso più ampio. Una dimostrazione matematica può essere sbagliata. È già accaduta. Questa domanda di mathoverflow è piena di prove storiche e supposizioni che non sono corrette. Quando viene scoperto un errore del genere, no cosa che sconvolge luniverso accade. Smettiamo semplicemente di avere torto e diventiamo ragione, abbiamo migliorato la nostra conoscenza della matematica.

Quindi, diciamo che stiamo lavorando con assiomi che non includono 1 + 1 = 2. E che arriviamo a 1 + 1 = 2 attraverso il ragionamento matematico e stabiliamo una dimostrazione matematica per esso. E diciamo, per amor di discussione, in seguito scopriamo che tale prova è sbagliata, in realtà 1 + 1 = 3. No, questo non getterebbe luniverso nel caos. Luniverso era quello che era prima che gli umani arrivassero a il concetto di 1 + 1 = 2 (o almeno così presumo, non ero lì per osservarlo ma abbiamo molte buone prove che ci aiutano a sapere comera). E ogni volta che una dimostrazione matematica si è dimostrata errata, luniverso ha non è stato gettato nel caos. Ciò che è cambiato è stata la nostra comprensione della matematica. È ragionevole presumere che sarebbe lo stesso per 1 + 1 = 3.

Cè una cosa che verrebbe gettata nel caos. Matematici . Ora che sappiamo che 1 + 1 = 2 è falso, ogni prova che dipende da esso è difettosa. Viziata, non esattamente sbagliata. Le affermazioni convalidate da prove che dipendono da 1 + 1 = 2 possono ancora essere vere, ma le vecchie dimostrazioni non servirebbe a stabilire quella verità. Molto materiale avrebbe bisogno di essere rivisto e riscritto, ne seguiranno molte discussioni. Ma ne usciremo più saggi al caos.

E le teorie scientifiche che dipendono da 1 + 1 = 2 ?. Come ciò che è descritto in unaltra risposta a questa domanda. No, questo non frantumerebbe lintero universo in una polpa subatomica in un ordine piuttosto breve. Luniverso era quello che era prima che scoprissimo 1 + 1 = 3 e avrebbe continuato ad esserlo (presumo poiché ciò è accaduto per altre prove confutate). Poiché avremmo scoperto che le vecchie teorie scientifiche non spiegano adeguatamente luniverso, sarebbero stati sviluppati modelli migliori.

Se tali cose elementari sono messe in dubbio, quindi a fortiori sono cose molto meno elementari, come i passaggi di ragionamento necessari per dimostrare che uno e uno non si aggiungono a due. Quindi sarebbe ragionevole dubitare di una tale prova. In effetti, ignorerei la prova, insieme alla dozzina di altre incredibili affermazioni che incontro ogni giorno, come (sospetto) farebbe la maggior parte delle altre persone.

Di conseguenza, mi aspetto che la prova hanno lo stesso effetto sul mondo di una nuova dimostrazione di trisezione angolare euclidea (come è stata presentata molte volte prima). Cioè, occuperebbe temporaneamente le relativamente poche persone che hanno scelto di guardarlo.

Risposta breve: Sì. Se potessi dimostrare che unaffermazione così elementare e apparentemente ovvia è falsa, allora metterebbe in discussione una grande quantità di ciò che pensiamo di sapere sulla matematica e probabilmente molte altre cose sulluniverso.

E allora? A meno che tu non abbia qualche prova che questa affermazione è falsa, è “unipotetica inutile. In effetti, ho avuto molte conversazioni in cui qualcuno mi ha presentato alcune ipotesi su un argomento complesso, come” E se fosse stato dimostrato che questa politica politica quello che sostieni non “funziona?”, o “E se Dio ti comandasse di fare qualcosa di malvagio?”, ecc. E la mia risposta è generalmente: “Non credo che la situazione ipotetica che descrivi sia probabile che accada. E se qualcuno dimostrasse che 1 + 1 = 2 è falso? “

In un rigoroso senso matematico, non vedo come si potrebbe dimostrare che 1 + 1 = 2 è falso perché è vero per definizione. la definizione di “2” è “1 + 1”. Almeno questo è quello che mi è stato insegnato nel corso di teoria dei numeri. Data la complessità della matematica moderna, ci sono probabilmente altre definizioni in altri rami. Ma non puoi dimostrare che una definizione è falsa. È vera per … definizione.

Non succederebbe nulla alla realtà – rimarrebbe comè. Tuttavia, avremmo quindi bisogno di un cambiamento nella nostra teoria del conteggio, che si riverbererebbe attraverso altre teorie matematiche costruite sul conteggio. Poiché questa equazione dellaritmetica è effettivamente una definizione di due (vedi ad esempio, la costruzione dellaritmetica nei sistemi di assiomi matematici), una prova che questa equazione è sbagliata significherebbe che non possiamo validamente aggiungere uno e uno ( o più precisamente, qualsiasi sistema di assiomi che ci consenta di aggiungerne uno e uno è logicamente incoerente). Ciò richiederebbe la formulazione di sistemi di assiomi alternativi della matematica che evitino lincongruenza. La realtà continuava a sbuffare come al solito mentre cercavamo di capirlo.

Non puoi “s confutare un assioma e gli assiomi di Peano affermano che 1 + 1 = 2.

Cambio di contesto, in logica booleana + significa qualcosaltro e 1 + 1 = 1.

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• Sono ' abbastanza sicuro che ' s. in pratica hai detto che ' è un assioma perché ' è in un elenco di assiomi.
• @ Ruadhan2300 Gli assiomi di Peano sono i soliti assiomi della logica. Potresti considerarlo dogmatico, ma è banale come " Ogni numero ha un successore. "
• No negando che gli assiomi di Peano siano sicuramente una fonte altamente credibile, ma " ' è vero perché ' s true " è ancora un argomento strano da fare.