Cosè un percorso integrale? [chiuso]

Matematicamente, un integrale di percorso è una generalizzazione di un integrante. Nei soliti integrali $ N $ -dimensionali, si integra $$ \ int dx_1 dx_2 \ dots dx_N $$ su un sottospazio di $ {\ mathbb R} ^ N $, un $ N $ -dimensionale. Un integrale di percorso è un integrale a dimensione infinita $$ \ int {\ mathcal D} f (y) \, Z [f (y)] $$ su tutte le possibili funzioni $ f (y) $ di una variabile $ y $, che può essere un numero reale o un vettore. I valori delle funzioni $ f (0) $, $ f (0.1) $, $ f (0.2) $ ecc. Giocano lo stesso ruolo delle variabili $ x_1 $, $ x_2 $ ecc. Nel solito integrale multidimensionale .

Poiché lindice $ i $ di $ x_i $ assumeva valori nellinsieme finito $ 1,2, \ dots N $, e ora è sostituito dalla variabile continua $ y $, lintegrale del percorso è un integrale infinito-dimensionale.

I matematici rigorosi vedono molti problemi che impediscono di definire lintegrale del percorso infinito-dimensionale usando la teoria della misura. Ma i fisici sanno che si possono trattare integrali simili. Ci sono alcune “divergenze ultraviolette” ecc. Che si sperimentano quando si cerca di calcolarle ma possono essere affrontate. In sostanza, si vogliono usare tutte le regole naturali che si applicano agli integrali di dimensione finita. Ad esempio, gli integrali (percorso) di una somma di due funzioni sono la somma di due integrali (percorso) e così via.

Due applicazioni più importanti degli integrali percorso in fisica sono nellapproccio di Feynman alla meccanica quantistica, in particolare alla teoria quantistica dei campi e alla meccanica statistica.

Nella meccanica statistica (classica), si vuole calcolare la somma delle partizioni $$ Z = \ sum_C \ exp (- \ beta E_c) $$ su tutte le configurazioni $ c $ del sistema fisico. Ma poiché le configurazioni sono spesso etichettate da intere funzioni $ f (y) $ – infiniti valori a tutti i valori consentiti dellargomento $ y $ – la somma non è “t veramente a” somma”. Non è nemmeno un integrale di dimensione finita. È un integrale di percorso.

Nella meccanica quantistica, le ampiezze di probabilità complesse ecc. Sono calcolate come $$ {\ mathcal A} _ {fi} = \ int {\ mathcal D} \ phi (y) \, \ exp (iS [\ phi (y)] / \ hbar) $$ cioè come integrale del percorso su tutte le configurazioni delle variabili $ \ phi (y) $ ecc. Lintegrando è una fase – un numero il cui valore assoluto è uno – e langolo di fase dipende dallazione classica valutata dalla possibile storia $ \ phi (y) $. Gli stati iniziale e finale $ i, f $ sono incorporati integrando su quelle configurazioni nei “tempi intermedi” che obbediscono alle condizioni al contorno appropriate.

Quasi tutta la teoria quantistica dei campi può essere espressa come calcolo di alcuni integrali di percorso. Quindi, in questo senso, imparare “tutto” su un percorso integrale equivale allapprendimento di quasi tutta la meccanica quantistica e la teoria quantistica dei campi, che può richiedere da un semestre a 10 anni di studio intenso, a seconda di quanto si vuole approfondire. Sicuramente non può essere coperto in una sola risposta di dimensione consentita su questo server.

Il calcolo degli integrali di percorso con il gaussiano ie $ \ exp ({\ rm bilinear}) $ integrando, forse con polinomio prefattori nelle variabili di integrazione, è forse lesempio più importante o “più semplice” di un integrale di percorso non banale di cui abbiamo effettivamente bisogno in fisica.

In meccanica quantistica, lintegrale di percorso rappresenta la formula finale esplicita per qualsiasi ampiezza di probabilità. Lampiezza per qualsiasi transizione dallo stato $ | i \ rangle $ allo stato $ | f \ rangle $ può essere espressa direttamente come integrale di percorso e la probabilità è il valore assoluto dellampiezza di probabilità al quadrato. Tutto ciò che la meccanica quantistica consente di calcolare le riduzioni a queste probabilità, quindi lintegrale del percorso rappresenta “tutto” nella meccanica quantistica (questo paragrafo è stato originariamente pubblicato come un mio commento e lutente che ha proposto questa modifica aveva una buona ragione per farlo.)

Commenti

• +1, ma ' t direi i valori delle funzioni, $ f (0), f (1) $ e così via svolgono il ruolo di $ x_1, x_2 $ ecc. Poiché il funzionale mappa intere funzioni su numeri, ' è un intera funzione $ f $ che sostituisce il ruolo di un valore di $ x_1, x_2, $ ecc.
• Non ' per capire, @JamalS, che è un modo molto diplomatico per dire che penso che tu non ' capisca. 😉 Cè solo unintera funzione $ f $ ma ci sono molte variabili $ x_1, x_2 $. La funzione trasporta ancora più informazioni (infinitamente volte di più) rispetto a diversi numeri $ x_1, \ dots, x_N $. Nella tua ultima frase, qual è la congiunzione tra $ x_1, x_2 $? Se ' s " o ", allora ' è sbagliato perché è necessario specificare tutti i valori di $ x_i $ per parlare dellintegrando. Se ' s " e ", allora OK, ma stai solo provando per oscurare il fatto che il percorso in. è multidimensionale.
• La mia obiezione è solo allanalogia che affermi tra il caso dimensionale finito e lintegrale del percorso. Nel modo in cui ' lhai scritto, ' stai dicendo i valori della funzione $ f $ in punti diversi " svolgono lo stesso ruolo delle variabili $ x_1, x_2 $ ecc. " Ora, sono daccordo, ci ' è solo una funzione $ f $, e stiamo sommando tutte le possibili funzioni. Quindi il mio punto è che ' sono le diverse funzioni che sono analoghe alla somma su diversi valori di una variabile scalare, $ x $. Non ' non vedo come ' sei stato in grado di estrapolare Penso che solo le funzioni fluide contribuiscano dal mio singolo commento …
• Ho solo scritto che $ \ int D \ phi (y) $ può essere definito come il limite del continuo dellintegrale multidimensionale $ \ int \ dots d \ phi (-0.02) d \ phi (-0.01 ) d \ phi (0) d \ phi (0,01) d \ phi (0,02) \ dots $ per $ 0,01 $ inviato a zero. Non ' credo che possa esserci qualcosa di controverso su questa affermazione. ' è davvero lessenza della risposta. Se dici solo che " è un integrale su tutti i valori di una funzione ovunque ", non ti stai muovendo da un epsilon per rispondere la domanda dellOP e la spiegazione di cosa sia in realtà un " integrale sulle funzioni ". Un integrale, nel senso dellintegrale pre-percorso, è sempre dimensionale finito.
• Caro @TAbraham, rappresenta la formula finale esplicita per qualsiasi ampiezza di probabilità. Lampiezza di qualsiasi transizione dallo stato " i " allo stato " f " può essere espresso direttamente come integrale di percorso e la probabilità è il valore assoluto dellampiezza di probabilità al quadrato. Tutto ciò che la meccanica quantistica consente di calcolare si riduce a queste probabilità, quindi lintegrale del percorso rappresenta " tutto " nella meccanica quantistica.