Studio elettrodinamica da autodidatta e desidero sapere cosa si intende per potenziale . Capisco il concetto di energia potenziale ma cosa si intende per potenziale? È la stessa cosa di un campo, come la gravitazione o elettromagnetico?
Risposta
Potenziale elettrico ed energia potenziale elettrica sono due concetti diversi ma sono strettamente correlati luno allaltro. Considera una carica elettrica $ q_1 $ a un certo punto $ P $ vicino alla carica $ q_2 $ (supponiamo che le cariche abbiano segni opposti).
Ora, se rilasciamo la carica $ q_1 $ a $ P $, inizia a spostarsi verso carica $ q_2 $ e quindi ha energia cinetica. Lenergia non può apparire per magia (non cè pranzo gratis), quindi da dove viene? Proviene dallenergia potenziale elettrica $ U $ associata alla forza elettrica “conservativa” attrattiva tra i due chages. Per tenere conto dellenergia potenziale $ U $, definiamo un potenziale elettrico $ V_2 $ che viene impostato nel punto $ P $ per carica $ q_2 $.
Il potenziale elettrico esiste indipendentemente dal fatto che $ q_1 $ sia nel punto $ P $. Se scegliamo di inserire la carica $ q_1 $ lì, lenergia potenziale delle due cariche è quindi dovuta alla carica di $ q_1 $ e il potenziale elettrico preesistente $ V_2 $ tale che:
$$ U = q_1V_2 $$
PS Puoi usare lo stesso argomento se consideri chage $ q_2 $, in tal caso lenergia potenziale è la stessa ed è dato da: $$ U = q_2V_1 $$
Answer
Nel linguaggio del calcolo vettoriale:
La parola potenziale è generalmente usata per denotare una funzione che, se differenziata in modo speciale, fornisce un campo vettoriale. Questi campi vettoriali che derivano dai potenziali sono chiamati conservativi . Dato un campo vettoriale $ \ vec F $, le seguenti condizioni sono equivalenti:
- $ \ nabla \ times \ vec F = 0 $
- $ \ vec F = – \ nabla \ phi $
- $ \ oint_C \ vec F \ cdot \ text {d} \ vec \ ell = 0 $ per ogni ciclo chiuso $ C $ (da qui il nome “conservatore”)
La funzione $ \ phi $ che appare in $ (2) $ è chiamata potenziale di $ \ vec F. $ Quindi qualsiasi campo vettoriale irrotazionale può essere scritto come gradiente di una potenziale funzione.
Nello specifico dellelettromagnetismo, la legge di Faraday ci dice che $ \ nabla \ times \ vec E = – \ frac {\ partial \ vec B} {\ partial t} $. Per i campi magnetici che non lo fanno variare con il tempo (elettrostatica) otteniamo che $ \ nabla \ times \ vec E = 0 $ e quindi $ \ vec E = – \ nabla V $ dove $ V $ è il potenziale di $ \ vec E $. Questo è esattamente ciò che chiamiamo potenziale elettrico o “voltaggio” se non sei un fisico. Nel caso dellelettrodinamica dove $ \ frac {\ partial \ vec B} {\ partial t} \ neq 0 $ esiste ancora una nozione di potenziale elettrico in quanto possiamo scomporre il campo elettrico nella somma di un campo irrotazionale e di un campo solenoidale (questo è chiamato teorema di Helmholtz). Possiamo quindi usare le equazioni di Maxwell per ottenere che $ \ vec E = – \ nabla V- \ frac {\ partial \ vec A} {\ partial t} $ dove $ V $ è lo stesso potenziale elettrico e $ \ vec A $ è un campo vettoriale che chiamiamo potenziale vettoriale .
Il caso della gravità è analogo. Se $ \ vec g $ è un campo gravitazionale irrotazionale (che è sempre il caso in gravità newtoniana) quindi $ \ vec g = – \ nabla \ phi $ dove $ \ phi $ è il potenziale gravitazionale. Questo è strettamente correlato allenergia potenziale gravitazionale in quanto una massa $ m $ posta nel campo gravitazionale $ \ vec g $ avrà energia potenziale $ U = m \ phi $.
Commenti
- +1 per la risposta dettagliata. Tuttavia, le condizioni 1. e 3 .non sono equivalenti in generale. È possibile avere un campo vettoriale tale che $ \ vec \ nabla \ times \ vec F = 0 $ e $ \ oint \ vec F \ cdot d \ vec l \ neq 0 $. Vedere per istanza Perché questo campo vettoriale non presenta arricciature? .
- @Diracology Buon punto. Dobbiamo richiedere che $ \ vec F $ non n o divergono in unarea delimitata da $ C $. In generale, supponendo che 1. sia vero abbiamo che $ \ oint_C \ vec F \ cdot \ text {d} \ vec \ ell = \ int \ int_S \ nabla \ times \ vec F \ cdot \ text {d} \ vec A = \ int \ int_S 0 \ cdot \ text {d} \ vec A = 0 $ dove $ S $ è una superficie con confine $ C $ e la prima uguaglianza è di Stoke ' teorema di s. Chiaramente se $ \ vec F $ diverge in $ S $ incontreremo alcuni problemi con queste uguaglianze.