Derivazione della massa ridotta [duplicato]

Il sistema a due corpi può essere analizzato più semplicemente utilizzando una massa ridotta, poiché il problema si riduce sostanzialmente al corpo singolo. La prima approssimazione può essere ottenuta assumendo che, m1 >> m2, come il pianeta in orbita attorno alla stella, perché il centro di gravità coincide con m1. Quindi si può presumere che il corpo pesante sia a riposo e che uno più leggero si muova intorno ad esso.

Derivazione: $$ \ text {Let} \, m_1, \ vec r_1 \ text {essere una massa e una posizione del corpo massiccio e} \, m_2, \ vec r_2 \, \ text {quello più leggero.} $$

$$ \ text {Si presume che} \, m_1 > > m_2 \, \ text {La forza tra le masse (gravità) dipende dalla differenza dei vettori di posizione}: \ vec F_ {12} = \ vec F (\ vec r_ {12}), \ text {dove}: $$

$$ \ vec r_ {21} = \ vec r_2- \ vec r_1 \\ \ vec F_ {12} \, \ text {è forza sul corpo 1 a causa del corpo 2} $$ Nella nostra approssimazione supponiamo che la massa pesante sia a riposo allorigine. Quindi: $$ \ vec r_ {21} = \ vec r_2 $$ E lequazione del movimento diventa: $$ \ vec F (\ vec r_ {21}) = m_2 \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {21}} {dt ^ 2} = m_2 \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {2}} {dt ^ 2} $ $ che può essere risolto per ottenere la posizione.

Per ottenere un movimento “vero”, risulta che la nostra approssimazione può essere resa esatta considerando il centro di massa (CM). (che è una massa media ponderata delle posizioni di due masse in questo caso) $$ \ vec R_ {CM} = \ frac {m_1 \ vec r_1 + m_2 \ vec r_2} {m_1 + m_2} = \ frac {m_1 \ vec r_1} {m_1 + m_2} + \ frac {m_2 \ vec r_2} {m_1 + m_2} $$ $$ \ text {Lo faremo quantità di chiamate} \ frac {m_2m_1} {m_1 + m_2} = \ mu \, \ text {massa ridotta} $$ $$ \ text {Così}: \ vec R_ {CM} = \ frac {\ mu \ vec r_1} {m_2} + \ frac {\ mu \ vec r_2} {m_1} $$ Si può facilmente dimostrare che la forza esterna netta sul sistema è uguale a massa totale moltiplicata per laccelerazione del centro di massa. Se non sei convinto, ho scritto prima di tale derivazione in questo POST

Poiché si presume non siano presenti forze esterne (la forza di gravità tra le masse “conta” come quella interna), il centro di massa si muove a velocità costante. $$ \ frac {d ^ 2 \ vec r} {dt ^ 2} = 0 \ implies \ frac {d \ vec r} {dt} = const. $$ Si consideri CM come origine di un sistema di coordinate inerziali. Quindi la posizione delle due masse è data da: $$ \ vec R_ {CM} = 0 \ implica \ frac {\ mu \ vec r_1} {m_2} = – \ frac {\ mu \ vec r_2} {m_1} \ implica \ vec r_1 = – \ frac {m_2 \ vec r_2} {m_1}; \, \ vec r_2 = – \ frac {m_1 \ vec r_1} {m_2} $$ $$ \ text {Since}: \ vec r_ {21} = \ vec r_2- \ vec r_1 \, \ text {otteniamo:} $$ $$ \ vec r_ {21} = – \ frac {m_1} {m_2} \ vec r_1- \ vec r_1 = – \ vec r_1 (\ frac {m_1 + m_2} {m_2}) \ implies \ vec r_1 = – \ frac {\ mu} {m_1} \ vec r_ {21} $$ $$ \ vec r_ {21} = \ vec r_2 + \ frac {m_2} {m_1} \ vec r_2 = \ vec r_2 (\ frac {m_1 + m_2} {m_1}) \ implica \ vec r_2 = \ frac {\ mu} {m_2} \ vec r_ {21} $$ $$ \ text {Pertanto le equazioni del movimento sono}: $$ $$ \ vec F (\ vec r_ {21}) = m_2 \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {2}} {dt ^ 2} = \ mu \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {21}} {dt ^ 2} $$ $$ \ vec F (\ vec r_ {12}) = \ vec F (- \ vec r_ {21}) = m_1 \ frac {d ^ 2 \ vec r_ { 1}} {dt ^ 2} = – \ mu \ frac {d ^ 2 \ vec r_ {21}} {dt ^ 2} $$ W che è la nostra equazione ottenuta in precedenza nella nostra approssimazione con massa ridotta. Nota che se m1 >> m2 massa ridotta è quasi uguale a m2.

Questo il movimento del sistema a due corpi è costituito dal suo CM e dal movimento attorno ad esso. Il movimento attorno ad esso può essere descritto in termini di ununica massa ridotta che si muove attorno a un centro fisso.