Differenza tra numeri interi e numeri decimali

“Conteggio” (che porta a contare i numeri) è un caso speciale (con ambiguità) di “misurazione”, dove il ruolo della “misura / unità” è più visibile. Ovviamente (penso) lunità naturale implicita nelle situazioni di “conteggio” è ununità atomica rilevante (come “persona intera, operativa”, piuttosto che una parte più piccola non così funzionale di una persona).

Cioè, contare le misure implicitamente con unità la più piccola / atomica misura fattibile / operativa (spesso così universalmente implicita che è fuori discussione).

Un analogo più elaborato si presenta quando gli studenti più avanzati sono esposti per la prima volta al lidea che le somme infinite (dette anche “serie”) cadano sotto lombrello degli “integrali”, ma con “misura di conteggio” … e che gli insiemi discreti hanno almeno una misura di Borel positiva, regolare naturale, cioè la misura di conteggio. / p>

Commenti

• 1. Questo è ciò a cui alludevo nella mia frase di apertura e quindi, ovviamente, sono daccordo e mi piace la sfumatura particolare che gli stai dando. 2. Ma come rispondi agli studenti principianti che chiedono ” Perché ‘ diciamo 0,04 DekaPeople visto che possiamo dire 0,04 KiloPeople? In qualche modo, che 0,04 DekaPeople = 0,4 People e 0,04 KiloPeople = 40 People non aiuta: la loro opinione è che una volta che operiamo nel sistema decimale-metrico, non dovrebbe esserci ricorso a considerazioni estranee e le cose non dovrebbero dipendere dal fatto che il ” denominatore ” è Persone o litri di latte .
• @schremmer, io ‘ sostengo che senza ” ricorrere a considerazioni estranee ” laritmetica ha ancora senso, certo, ma a volte la pertinenza / applicabilità può risentirne. Il contesto è importante.
• Ovviamente, il contesto è essenziale come accade la maggior parte delle volte. Questi, però, sono i cosiddetti studenti dello sviluppo e sono molto difficili da prendere in considerazione la logica.Ma poi, una volta che iniziano, naturalmente, si bloccano su cose del genere. Provo a dire loro che saranno sempre in grado di distinguere dal ” denominatore “, a cui sono daccordo, ma insistono comunque che ” dovrebbe esserci una regola ” indipendente dal fatto che stiamo parlando di persone di litri di latte. Questo è ciò che non so ‘ come rispondere.
• @schremmer, potresti dire loro che non tutto (anche in matematica) può essere ridotto a un elenco di regole univoche. Mi rendo conto che ci sono varie situazioni di sviluppo, ma, comunque, cerco di assicurare agli studenti a tutti i livelli che non dovrebbero non sospendere il proprio giudizio critico … ma / e che hanno la responsabilità di usandolo , invece di usare solo il pensiero magico o invocare ” regole ” inesplicabili.
• La mia risposta a una domanda come ” Perché ‘ t diciamo 0,04 DekaPeople [0,4 persone] ” è che certamente possiamo dire qualcosa del genere. Per esempio. Domanda: Qual è la densità di popolazione per chilometro quadrato nelle Isole Falkland? Risposta: 0,26 persone. link

Perché” t diciamo ” 0,04 Persone ” poiché possiamo dire ” 0,04 KiloPeople “?

Alcune quantità (ad es. Persone) sono quantità discrete e alcune (ad es. metri, dollari) sono quantità continue.

La seguente discussione è tratta da qui . (ho “sottolineato le parole ” numero naturale ” e ” decimale. “)

Classificazione delle quantità

Una quantità è discreta o continua . Una quantità discreta è la grandezza di un insieme numerabile (uno i cui elementi sono “reciprocamente separati e individualmente distinti”). Il suo valore numerico è un numero naturale (“la divisione in una quantità inferiore a ununità non può essere considerata”) e la sua unità è chiaro allinizio. Un esempio di una quantità discreta è “tre ragazzi”.

Una quantità continua è la grandezza di un “continuum” (“unentità continua che può essere divisa in un numero qualsiasi di parti più piccole” in modo tale che “qualsiasi due di queste entità possono essere combinate in una più grande ”). Il suo valore numerico (un decimale o una frazione) e la sua unità “non sono stati determinati a priori . ” Un esempio di quantità continua è “tre dollari”.

Una quantità continua può essere estesa o intensiva . Il primo esprime ampiezza o grandezza (come area o peso); questultima esprime qualità o intensità (come densità o velocità). Una quantità estesa ha additività: lattributo dellunione di due corpi è uguale alla somma degli attributi dei due corpi. Una quantità intensiva non ha additività. Ad esempio, il peso di due corpi è necessariamente la somma dei loro pesi, ma la velocità di due corpi non è necessariamente la somma delle loro velocità.

Il testo è scritto per insegnanti di matematica, ma può essere riformulato per essere più facilmente compreso dai principianti.)

La mia risposta originale (inclusa qui per il contesto) che lOP ha sottolineato non ha risposto alla domanda prevista:

Alcune quantità, ad esempio $ 1/3 $ litro, hanno rappresentazioni decimali ( $ 0. \ overline {3} $ litri) ma nessuna rappresentazione di numeri interi.

Commenti

• Cosa centra questo con la mia domanda?
• La tua domanda era ” Dove tracciate il confine tra intero e decimale e come lo spieghi a studenti principianti che vogliono capire ? ” I sto proponendo di tracciare la linea quando la rappresentazione decimale non termina e che questo esempio dovrebbe essere chiaro agli studenti ” molto grezzi che iniziano ” .
• @I principianti con cui ho a che fare non hanno idea di cosa possa rappresentare un decimale, per non parlare di una rappresentazione decimale che non termina. Inoltre, 1/3 di litro di latte è 1 , che è un numero intero che numera le cose _ denominate_ da di cui ci vuole 3 per fare un litro di latte quindi ecco la tua rappresentazione del numero intero.In ogni caso, questo ha poco a che fare con la domanda originale.
• Allora che ne dici di $ \ sqrt {2} $ metri, la lunghezza dellipotenusa di un triangolo rettangolo isoscele con ciascuna gamba di lunghezza $ 1 $ metro? Sei daccordo sul fatto che abbia una rappresentazione decimale ma non una rappresentazione di un numero intero?
• Certo, ma cosa ha a che fare con la domanda originale? Stai ancora rispondendo a una domanda non ho mai fatto . La domanda che ho posto gira intorno: perché ‘ diciamo ” 0,04 persone ” poiché possiamo dire ” 0,04 KiloPeople “?

Penso che la confusione sia in gran parte una conseguenza del fatto che molte persone trovano i prefissi del sistema metrico ( kilo- , centi- , ecc.) non familiare e trova i decimali (anche quelli terminali) meno intuitivi delle “frazioni volgari” che rappresentano.

Se qualcuno mi chiedesse “Come può 0,004 chilometri, un numero decimale, essere lo stesso di 4 metri, un numero intero “? (come lOP menziona nei commenti sotto la sua domanda), risponderei con qualcosa del genere:

Sei anche infastidito dal fatto che $ 1 / 2 $ una dozzina di uova, una frazione, equivale a 6 uova, un numero intero?

Cosa succederebbe dopo dipende dalla risposta dellinterrogante . Ma supponiamo che rispondano con qualcosa del tipo: “Va bene, immagino di aver capito. Ma perché posso dire” 0,04 kilopeople “ma non posso” dire “0,04 persone”? “In tal caso, risponderei con :

Anche tu sei infastidito dal fatto che puoi bollire mezza dozzina di uova, ma non riesci “a bollire mezzo uovo?

Il punto di queste risposte, per essere chiari, non è chiudere la conversazione con uno zinger, ma piuttosto portare in superficie quali sono i problemi di fondo: ” 1 kilopeople “significa” 1000 persone “e puoi avere mezzo migliaio di persone nello stesso modo in cui puoi avere mezza dozzina uova. Daltra parte non puoi avere $ 1/7 $ su mille persone, esattamente nello stesso modo in cui non puoi avere $ 1/7 $ su una dozzina di uova.

Commenti

• Il mio problema con una domanda come ” Perché può ‘ diciamo ‘ 0,04 Persone ‘ “, è che mi sembra che certamente possiamo dirlo. Ad esempio, potrebbe essere la densità di popolazione per chilometro quadrato in una determinata regione. Infatti: 0,04 persone effettivamente è esattamente la densità di popolazione (per km ^ 2) nelle isole Svalbard e Jan Mayen in Norvegia. link .
• @mweiss Agli studenti dello sviluppo che iniziano a fare domande non piace ricevere una risposta. Licenzierebbero il tuo ” Anche tu sei infastidito … ” come insegnante ” trucco “. In seguito, nella discussione, ovviamente, non avrebbero avuto obiezioni al tuo ragionamento e anzi lo avrebbero seguito. Tuttavia, ciò che penso sia veramente la loro domanda, come ho commentato a Paul Garrett, è: ” una volta che operiamo nel sistema decimale-metrico, non ci dovrebbe essere ricorso a considerazioni estranee e le cose non dovrebbero dipendere dal fatto che il ” denominatore ” sia Persone o litri di latte. ”