So che la regola di Bayes deriva dalla probabilità condizionale. Ma intuitivamente, qual è la differenza? Lequazione mi sembra la stessa. Il nominatore è la probabilità congiunta e il denominatore è la probabilità del risultato dato.
Questa è la probabilità condizionale: $ P (A∣B) = \ frac {P (A \ cap B)} {P (B)} $
Questa è la regola di Bayes: $ P (A∣B ) = \ frac {P (B | A) * P (A)} {P (B)} $ .
Non è “t $ P (B | A) * P (A) $ e $ P (A \ cap B) $ lo stesso? Quando $ A $ e $ B $ sono indipendenti, non è necessario utilizzare la regola di Bayes, giusto ?
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Risposta
OK , ora che hai aggiornato la tua domanda per includere le due formule:
$$ P (A \ mid B) = \ frac {P (A \ cap B )} {P (B)} ~~ \ text {a condizione che} P (B) > 0, \ tag {1} $$ sia definizione della probabilità condizionale di $ A $ dato che $ B $ verificato. Allo stesso modo, $$ P (B \ mid A) = \ frac {P (B \ cap A)} {P (A)} = \ frac {P (A \ cap B) } {P (A)} ~~ \ text {a condizione che} P (A) > 0, \ tag {2} $$ sia definizione della probabilità condizionale di $ B $ dato che $ A $ verificato. Ora, è vero che è una questione banale sostituire il valore di $ P (A \ cap B) $ da $ (2) $ in $ (1) $ per arrivare a $$ P (A \ mid B ) = \ frac {P (B \ mid A) P (A)} {P (B)} ~~ \ text {a condizione che} P (A), P (B) > 0, \ tag {3} $$ che è Bayes “formula ma nota che Bayes” s la formula collega effettivamente due diverse probabilità condizionali $ P (A \ mid B) $ e $ P (B \ mid A) $ ed è essenzialmente una formula per " trasformare il condizionamento attorno a ". Il reverendo Thomas Bayes ha fatto riferimento a ciò in termini di " probabilità inversa " e anche oggi cè un acceso dibattito sul fatto che linferenza statistica debba essere basato su $ P (B \ mid A) $ o sulla probabilità inversa (chiamata a posteriori o probabilità a posteriori).
È indubbiamente irritante per te quanto lo è stato per me quando ho scoperto che la formula di Bayes “era solo una banale sostituzione di $ (2) $ in $ (1) $ . Forse se sei nato 250 anni fa, tu (Nota: lOP mascherato con il nome utente AlphaBetaGamma quando ho scritto questa risposta ma da allora ha cambiato il suo nome utente) avrebbe potuto fare la sostituzione e quindi la gente oggi parlerebbe della formula AlphaBetaGamma e delleresia AlphaBetaGammian e del metodo Naive AlphaBetaGamma $ ^ * $ invece di invocare Ba sì “nome ovunque.Consentitemi quindi di consolarvi della vostra perdita di fama indicando una versione diversa della formula di Bayes. La legge della probabilità totale dice che $$ P (B ) = P (B \ mid A) P (A) + P (B \ mid A ^ c) P (A ^ c) \ tag {4} $$ e usando questo, possiamo scrivere $ (3) $ come
$$ P (A \ mid B) = \ frac {P (B \ mid A) P (A)} {P (B \ mid A) P (A) + P (B \ mid A ^ c) P (A ^ c)}, \ tag {5} $$ o più in generale come $$ P (A_i \ mid B) = \ frac {P (B \ mid A_i) P (A_i)} {P (B \ mid A_1) P (A_1 ) + P (B \ mid A_2) P (A_2) + \ cdots + P (B \ mid A_n) P (A_n)}, \ tag {6} $$ dove la probabilità a posteriori di un possibile " causa " $ A_i $ di un " datum " $ B $ è correlato a $ P ( B \ mid A_i) $ , la probabilità di osservazione $ B $ quando $ A_i $ è la vera ipotesi e $ P (A_i) $ , la probabilità a priori (orrori!) dellipotesi $ A_i $ .
$ ^ * $ Cè è un famoso giornale R. Alpher, H. Bethe e G. Gamow, " The Origin of Chemical Elements ", Physical Review, 1 aprile 1948, comunemente indicato come $ \ alpha \ beta \ gamma $ paper .
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- Salve Signore, La prego spiega cosa intendi con ' capovolgendo il condizionamento '?
- @Siddhant Going from $ P (A \ mid B) $ a $ P (B \ mid A) $ è ciò che intendo per " trasformando il condizionamento intorno a ". Per favore ignora la frase, che ho inventato allistante per dare un nome a ciò che Bayes ' fa (fornisce unespressione per $ P (A \ metà B) $ in termini di $ P (B \ mid A) $) poiché ti confonde così tanto.
Answer
Uno modo di pensare intuitivamente al teorema di Bayes è che quando uno qualsiasi di questi è facile da calcolare
$$ P (A∣B) ~~ \ text {o } P (B∣A) $$
possiamo calcolare laltro anche se laltro sembra essere un po difficile allinizio
Considera un esempio, qui $$ P (A∣B) $$ è dire che ho una tenda e ti ho detto che cè un animale dietro la tenda e dato che è un animale a quattro zampe cosa è la probabilità che quellanimale sia un cane?
È difficile trovare una probabilità per questo.
Ma puoi trovare la risposta per $$ P (B∣A) $$ Qual è la probabilità che un animale a quattro zampe sia dietro la tenda e gi anche se è un cane, ora è facile calcolarlo potrebbe essere quasi 1 e inserisci quei valori nel teorema di Bayes e troverai la risposta per $$ P (A ∣B) $$ questa è la probabilità che lanimale sia un cane, cosa che allinizio era difficile.
Questa è solo una versione semplificata in cui puoi pensare intuitivamente perché riorganizzare la formula potrebbe Aiutaci. Spero che questo aiuti.
AdataB. Semanticamente, ' direi che ' è sempre necessario utilizzare la regola ' di Bayes , ma quandoAeBsono indipendenti, la regola può essere ridotta a una forma molto più semplice.