Dove viene utilizzato in fisica il teorema dellindice di Atiyah-Singer?

Le equazioni del moto, o le equazioni degli istantoni, o dei solitoni, o le equazioni di Einstein, o quasi tutte le equazioni in fisica, sono equazioni differenziali. In molti casi, siamo interessati allo spazio delle soluzioni di unequazione differenziale. Se scriviamo lequazione differenziale totale (possibilmente non lineare) di interesse come $ L (u) = 0, $ possiamo linearizzare vicino a una soluzione $ u_0, $ ie scrivere $ u = u_0 + v $ e espandere $ L (u_0 + v) = 0 + L ‘ | _ {u_0} (v) + … =: D (v) $ per costruire unequazione lineare $ D (v) = 0 $ nello spostamento $ v. $

Unequazione differenziale lineare è come unequazione di matrice. Ricorda che una matrice $ n \ times m $ $ M $ è una mappa da $ R ^ n $ a $ R ^ m $ e $ dim (ker (M)) – dim (ker (M ^ *)) = nm , $ indipendente dalla particolare matrice (o trasformazione lineare, più in generale). Questo numero è chiamato “indice”. Nelle dimensioni infinite, questi numeri non sono generalmente finiti, ma spesso (specialmente per le equazioni differenziali ellittiche) lo sono e dipendono solo da certe informazioni “globali” sugli spazi su cui agiscono.

Il teorema dellindice ti dice qual è lindice di un operatore differenziale lineare ($ D, $ sopra). Puoi usarlo per calcolare la dimensione dello spazio delle soluzioni dellequazione $ L (u) = 0. $ (Quando lo spazio della soluzione è una varietà [unaltra storia], la dimensione è la dimensione dello spazio tangente, descritto dallequazione $ D (v) = 0 $.) non ti dice qual è lo spazio effettivo delle soluzioni. Questa è “una domanda difficile e non lineare.

Commenti

• Immagino sia ‘ una bella risposta matematica per i fisici che non ‘ conoscono già laffermazione del teorema dellindice. Ma non riesco a vedere alcun esempio fisico effettivo. Il che è un peccato, sono certo che Eric ne conosca molti . So che le persone lo usano sempre nella teoria delle stringhe. Ma ‘ non so abbastanza per fornire una mia risposta.
• Il teorema dellindice è molto generale e si applica a tutti gli esempi che ho citato (istantoni, solitoni, equazioni di Einstein ‘). Ad esempio, lo spazio dei moduli di $ SU (2) $ istantoni sui quattro -sfera $ S ^ 4 $ ($ R ^ 4 $ con comportamento costante allinfinito) con numero di istante $ k $ è uguale a $ 8k – 3 $ dal teorema dellindice.
• Bene, hai detto ” quasi tutte le equazioni di fisica ” che è in diretta contraddizione con la mia osservazione 🙂 Quello che speravo erano alcuni esempi concreti come quelli forniti da Steve. O qualcosa come il tuo esempio di instanton (penso che tu intendessi $ S ^ 3 $ però?). Mi piacerebbe vederne di più, soprattutto legati a qualche interpretazione fisica. Grazie in anticipo 🙂
• È è vero che praticamente qualsiasi equazione in fisica è unequazione differenziale! Tuttavia, non tutti portano a problemi di indice. (Intendevo S ^ 4. Gli istanti sono configurazioni di campo dipendenti dal tempo.) Un esempio tratto dalla teoria delle stringhe, i cui diagrammi di Feynman sono ampiezze QFT bidimensionali. Quella teoria dei campi 2d descrive le mappe da una superficie a uno spaziotempo, e gli istantoni di quella teoria sono mappe olomorfe. La dimensione dello spazio di tali mappe è trovata da una formula indice. Per un CY, questa dimensione è zero, il che significa che puoi contare le soluzioni (questo è correlato alla teoria delle stringhe topologiche).
• +1 sulla bella risposta e menzione di istantoni. Ma esiste effettivamente unapplicazione per lequazione di Einstein ‘? Per quanto ne so, il teorema dellindice è applicabile agli operatori ellittici lineari …

Eric e altri hanno dato buone risponde al motivo per cui ci si aspetta che il teorema dellindice sorga in vari sistemi fisici. Una delle prime e più importanti applicazioni è la risoluzione di “t Hooft” del problema $ U (1) $. Questo si riferisce alla mancanza di un nono bosone pseudo-Goldstone (come i pioni e Kaons) nella QCD che ci si aspetterebbe ingenuamente dalla rottura della simmetria chirale. Ci sono due parti della risoluzione. Il primo è il fatto che il chirale $ U (1) $ è anomalo. La seconda è la consapevolezza che ci sono configurazioni di azione finita (istantoni) che contribuiscono a funzioni di correlazione che coinvolgono la divergenza della corrente assiale $ U (1) $. Lanalisi si basa molto sul teorema dellindice per loperatore di Dirac accoppiato al campo di gauge $ SU (3) $ di QCD. Per una spiegazione più completa vedere “Le lezioni di Erice” di S. Coleman Gli usi degli istantoni.”Ci sono anche importanti applicazioni alla S-dualità di $ N = 4 $ SYM che coinvolgono il teorema dellindice per loperatore di Dirac sugli spazi dei moduli unipolari.

Commenti

• Jeff, resta in linea! Penso che Physics Stack Exchange potrebbe essere utile alla comunità dei fisici se fosse usato in modo così ampio e saggio come Math Overflow, ad esempio da persone come te!
• Grazie Eric. Mi sembra di capire che sia stato appena riavviato. Spero che funzioni. Ci sono molti modi da fare prima che sia di qualità MO.
• In effetti. Penso che ci sia ‘ è ora un sito in sviluppo (Theoretical Physics Stack Exchange) che mirerà ad essere più simile a Math Overflow, ma questo ha il vantaggio di essere esistente.

Prima vorrei spiegare a cosa si riferisce l index in questione . Se la matematica si riempie troppo di gergo fammelo sapere nei commenti.

In fisica siamo spesso interessati al spettro di vari operatori su alcune varietà che ci interessano. Ad esempio: loperatore di Dirac nello spaziotempo 3 + 1. In particolare la fisica delle lunghe distanze a bassa energia è contenuta nei modi zero (stati fondamentali).

Ora cosa misura l “indice”, per loperatore di Dirac $ D $ e una determinata varietà $ M $, è la differenza tra il numero di modalità zero per mancini e il numero di modalità zero per destrimani. Più tecnicamente:

$$ ind \, D = dim \, ker \, D – dim \, ker \, D ^ {+} $$

dove $ D $ è loperatore in questione; $ ker \, D $ è il kernel di $ D $ – linsieme di stati che vengono annullati da $ D $; e $ ker \, D ^ {+} $ è il kernel del suo aggiunto. Quindi, come puoi vedere, $ ind \, D $ conta la differenza tra le dimensionalità di questi due spazi. Questo numero dipende solo dalla topologia di $ M $.

In breve, il teorema ASI mette in relazione la topologia di una varietà $ M $ con i modi zero o stati fondamentali di un operatore differenziale $ D $ che agisce su $ M $. Questa è ovviamente uninformazione di rilevanza per i fisici.

Forse qualcun altro può elaborare di più sugli aspetti fisici.

Il miglior riferimento per questo e altri argomenti di fisica matematica, secondo me, è Nakahara .

Nel caso di un Operatore di Dirac, lindice è la dimensione in eccesso (con segno) dello spazio dei modi del vuoto di una chiralità rispetto allaltra: cioè, il numero di stati “fantasma” anomali in una teoria dei campi chirali.

Le anomalie si verificano quando la corrispondenza di simmetria classica / quantistica si rompe durante la rinormalizzazione (unanomalia globale potrebbe essere responsabile della massa dei quark in QCD; la risoluzione dellanomalia chirale locale negli SM tiene conto di quark e leptoni; risolvendola nella teoria delle superstringhe si fissa il gauge gruppo [a SO (32) o E8 x E8], e la risoluzione di unanomalia conforme fissa la dimensione dello spaziotempo e il contenuto del fermione). Quando si cerca di trasformare la teoria delle stringhe in fisica reale, ci si chiede

• Può spiegare tre generazioni di fermioni chirali?
• Può spiegare i risultati sperimentali sul decadimento del protone?
• Può spiegare la piccolezza della massa dellelettrone?
• Può spiegare [cose sulla costante cosmologica]?

e AST aiuta a rispondere a queste domande.