La rappresentazione per il modello AR (1) è la seguente:
$ Y_t = c + ϕY_ {t-1} + ε_t $
dove $ c = (1 -ϕ) μ $ ( $ c $ è una costante).
Voglio capire i calcoli che ci sono dietro la formula generale dellautocovarianza di AR (1), che è $ γ (h) = \ operatorname {Var} (Y_t) ⋅ϕ ^ {| h |} $
Finora ho eseguito i seguenti passaggi: ho iniziato con $ γ (1) $ :
$ \ operatorname {Cov} (Y_t, Y_ {t-1}) = γ (1) = $
$ = \ operatorname {Cov} (ϕY_ {t-1} + ε_t, ϕY_ {t-2} + ε_t) = $
$ = \ operatorname {Cov} (ϕY_ {t-1}, ϕY_ {t-2}) + \ operatorname {Cov} (ϕY_ {t-1}, ε_t) + \ operatorname {Cov} ( ε_t, ϕY_ {t-2}) + \ nomeoperativo {Cov} (ε_t , ε_t) $
$ γ (1) = ϕ ^ 2γ (1) + ??? + ??? + σ ^ 2 $
Come puoi vedere, da questo punto non posso “non continuare perché non so quali sono i valori di $ \ operatorname {Cov} (ϕY_ {t-1}, ε_t) $ e $ \ operatorname {Cov} ( ε_t, ϕY_ {t-2}) $
Qualsiasi assistenza sarà molto apprezzata. Grazie in anticipo.
Risposta
Scriviamo $ \ gamma ( 1) $ : $$ \ begin {align} \ gamma (1) & = cov (Y_t, Y_ {t -1}) = cov (c + \ phi Y_ {t-1} + \ epsilon_t, Y_ {t-1}) \\ & = cov (c, Y_ {t- 1}) + \ phi cov (Y_ {t-1}, Y_ {t-1}) + cov (\ epsilon_t, Y_ {t-1}) \\ & = \ phi \ gamma (0) \ end {align} $$
poiché $ cov (c, Y_ {t-1}) = cov (\ epsilon_t, Y_ {t-1}) = 0 $ , (ovvero loutput passato è indipendente dallinput futuro).
Allo stesso modo, $ \ gamma (2) = cov (Y_t, Y_ {t-2}) = cov (\ phi Y_ {t-1} + c + \ epsilon_t, Y_ {t-2}) = \ phi \ gamma (1) = \ phi ^ 2 \ gamma (0) $ .
Se continuiamo in questo modo, otteniamo $ cov (Y_t, Y_ {th}) = \ phi \ gamma (h-1) = … \ phi ^ h \ gamma (0) $ , dove $ h \ geq0 $ . Generalizzare per $ h $ negativo restituisce $ \ gamma (h) = \ phi ^ {| h |} \ gamma (0) $ , dove $ \ gamma (0 ) = var (Y_t) $ .
PS tutta questa analisi presuppone che $ \ epsilon_t $ sia WSS, quindi $ y_t $ dalla proprietà di filtro LTI.
Commenti
- cè un errore di battitura nella prima riga .. segno di identità posizionato male.
- Nella prima riga vorrei sostituisci il terzo segno ” + ” con il ” = ” segno: $ cov (c + \ phi Y_ {t-1} + \ epsilon_t, Y_ {t-1}) = cov (c, Y_ {t-1}) + \ phi cov (Y_ { t-1}, Y_ {t-1}) + cov (\ epsilon_t, Y_ {t-1}) $
- Durante il tentativo di modificare lerrore di battitura affrontato da @Jesper, ho convertito quello specifico segno = al segno + e ha reso più sbagliato :). Vedo che il motivo è dovuto al rendering. Sebbene lordine delle istruzioni tex sia corretto, sono state visualizzate in un ordine diverso. Ad ogni modo, ‘ ho utilizzato le istruzioni align e lho reso molto più chiaro. Spero che ‘ sia ok.
- Lespressione per lauto-covarianza condizionale è la stessa? Cioè, $ Cov [Y_ {t_0 + n + h}, Y_ {t_0 + n} | F_ {t_0}] = \ phi ^ h Var [Y_ {t_0 + n} | F_ {t_0}] = \ phi ^ h \ sigma ^ 2 \ frac {1- \ phi ^ {2n}} {1- \ phi ^ 2} $ tenere?
Risposta
A partire da ciò che hai fornito:
$ y_ {t} = c + \ phi y_ {t-1} + \ epsilon_ {t} \ tag {1} $
Dove $ c = (1 – \ phi) \ mu $
Possiamo riscrivere $ (1) $ come:
\ begin {array} \ y_ {t} & = & c + \ phi y_ {t-1} + \ epsilon_ {t} \\ & = & (1 – \ phi) \ mu + \ phi y_ {t-1} + \ epsilon_ {t} \\ & = & \ mu – \ phi \ mu + \ phi y_ {t-1} + \ epsilon_ {t} \\ \ end {array}
Quindi,
$ y_ {t} – \ mu = \ phi (y_ {t-1} – \ mu) + \ epsilon_ {t} \ tag {2} $
Se lasciamo $ \ tilde {y_ {t}} = y_ {t} – \ mu $ , allora lequazione $ (2) $ può essere scritto come:
$ \ tilde {y} _ {t} = \ phi \ tilde {y} _ {t-1} + \ epsilon_ {t} \ tag {3} $
Varianza
La varianza di $ (3) $ si ottiene quadrando lespressione e prendendo le aspettative, che termina con:
\ begin { array} \ \ tilde {y} _ {t} ^ 2 & = & (\ phi \ tilde {y} _ {t -1} + \ epsilon_ {t}) ^ 2 \\ & = & (\ phi \ tilde {y} _ {t -1}) ^ 2 + 2 \ phi \ tilde {y} _ {t-1} \ epsilon_ {t} + (\ epsilon_ {t}) ^ 2 \\ & = & \ phi ^ {2} \ tilde {y} _ {t-1} ^ {2} + 2 \ phi \ tilde {y} _ {t-1} \ epsilon_ {t} + \ epsilon_ {t} ^ 2 \ end {array}
Ora considera laspettativa:
$ E (\ tilde {y} _ {t} ^ 2) = \ phi ^ {2} E (\ tilde {y} _ {t-1} ^ {2}) + 2 \ phi E (\ tilde {y } _ {t-1} \ epsilon_ {t}) + E (\ epsilon_ {t} ^ 2) $
Lei La chiameremo:
- $ \ sigma_ {y} ^ {2} $ è la varianza del processo stazionario.
- Il secondo termine a destra dellequazione è zero perché $ \ tilde {y} _ {t-1} $ e $ \ epsilon_ {t} $ sono indipendenti ed entrambi hanno aspettative nulle.
- Lultimo termine a destra è la varianza dellinnovazione, indicata come $ \ sigma ^ {2} $ (nota che non esiste pedice per questo).
Infine,
$ \ sigma_ {y} ^ {2} = \ phi ^ {2} \ sigma_ { y} ^ {2} + \ sigma ^ {2} $
Se risolviamo per la varianza del processo, cioè $ \ sigma_ { y} ^ {2} $ , abbiamo:
$ \ sigma_ {y} ^ {2} = \ frac {\ sigma ^ 2 } {1 – \ phi ^ 2} \ tag {4} $
Autocovarianza
Useremo lo stesso trucco che usiamo per la formula $ (3) $ . Lautovarianza tra le osservazioni separate da $ h $ punti è quindi:
\ begin {array} \ \ gamma_ {h} & = & E [(y_ {t – h} – \ mu) (y_ {t} – \ mu)] \\ & = & E [(\ tilde {y} _ {t – h}) (\ tilde {y } _ {t})] \\ & = & E [\ tilde {y} _ {t – h} (\ phi \ tilde {y} _ {t – 1} + \ epsilon_ {t}) \\ \ end {array}
Le innovazioni non sono correlate ai valori passati della serie, quindi $ E [\ tilde {y} _ {th} \ epsilon_ {t}] = 0 $ e ci rimane:
$ \ gamma_ {h} = \ phi \ gamma_ {h-1} \ tag {5} $
Per $ h = 1, 2, \ ldots $ e con $ \ gamma_ {0} = \ sigma_ {y} ^ 2 $
Per il caso particolare di $ AR (1) $ , lequazione $ (5) $ diventa:
$ \ gamma_ {1} = \ phi \ gamma_ {0} $
E utilizzando il risultato dellequazione $ (4) $ : $ \ gamma_ {0} = \ sigma_ {y} ^ {2} = \ frac {\ sigma ^ 2} {1 – \ phi ^ 2} $ finiamo con
$ \ gamma_ {1} = \ frac {\ sigma ^ 2} {1 – \ phi ^ 2} \ phi $
Fonte originale: Andrés M. Alonso & diapositive Carolina García-Martos. Disponibile qui: http://www.est.uc3m.es/amalonso/esp/TSAtema4petten.pdf