Fino a che punto possono volare i pappagalli senza dover atterrare?

Gli uccelli in volo sono stati lispirazione originale per la progettazione di una macchina che potesse volare e trasportare una persona in alto, quindi non lo è sorprendente che laerodinamica del volo aviario e degli aerei abbiano molto in comune. In particolare, entrambi consumano massa come fonte di energia per mantenere il volo; carburante per aviogetti o benzina nel caso degli aeroplani e grasso corporeo immagazzinato negli uccelli, ed entrambi hanno ali che forniscono portanza aerodinamica mentre laria si muove su di loro durante il volo. Inoltre, entrambi condividono unaltra caratteristica del volo, la capacità di planare , continuare il volo senza fornire la propria energia per mantenerlo. Questa energia è fornita dallatmosfera stessa sotto forma di correnti daria in aumento causate dalla differenza di temperatura di una “tasca” locale daria; una sacca daria più calda dellaria circostante si solleverà perché ha una densità inferiore, il Principio di Archimede in azione. Un processo simile si verifica quando un pacco di aria umida è circondato da aria secca alla stessa temperatura dellaria umida, quindi meno densa dellaria secca. La terza fonte di aria ascendente è dovuta alla topografia locale; laria sul lato sopravvento di una cresta o di una montagna è spinta verso lalto ed è spesso usata dagli uccelli come fonte di sollevamento.

Qualsiasi discussione sul volo in planata coinvolgerà inevitabilmente alcuni aspetti della fisica atmosferica (ovvero il tempo), non è diverso qui. Come affermato sopra, un pezzo di aria umida circondato da aria secca (er) a la stessa temperatura aumenterà Finché la temperatura sarà al di sopra della temperatura di saturazione (il punto di rugiada) per quel pezzo daria, lacqua rimarrà sotto forma di vapore Sappiamo tutti che man mano che saliamo nellatmosfera la temperatura scende; è più fresco in cima a una montagna che alla sua base. Pertanto, man mano che il nostro pacco di aria umida aumenta, la sua temperatura diminuirà e alla fine quella temperatura è uguale al punto di rugiada in quel pacco che porta alla condensazione di quellumidità, cioè si forma una nuvola. Poiché una superficie a temperatura costante nellatmosfera è quasi una superficie piana, vediamo nuvole nel cielo le cui basi sono tutte allo stesso livello, il livello in cui inizia questa condensazione. Ora, per un po di termodinamica; quando facciamo bollire lacqua aggiungendovi calore (cioè energia), trasformiamo lacqua liquida in vapore (vapore).Ecco il punto, quando raffreddiamo il vapore fino al punto di rugiada, si condenserà nuovamente in acqua liquida e, così facendo, riprendiamo il calore (che è stato messo per farlo bollire) di nuovo ! Quel calore recuperato si manifesta come un aumento della temperatura dellaria che ha appena ceduto il vapore acqueo. Questo aumento di temperatura fa sì che laria continui a salire, ora a causa di una differenza di temperatura con laria circostante piuttosto che una differenza di pressione del vapore acqueo ; la nuvola continua a crescere verso lalto. Questa è la fonte dei cumulonembi che vediamo nel cielo che potrebbero eventualmente formare temporali. Questa discussione evidenzia una fatto chiave sul tempo che si riferisce direttamente alla nostra discussione sul volo in planata; se non ci sono correnti ascensionali, non ci sono nuvole. È corretto, perché si formi una nuvola, devono esserci devono correnti ascensionali contenenti aria umida . Lassenza di nuvole indica lassenza di correnti ascensionali. Se non ci sono correnti ascensionali, non cè volo in planata. Tuttavia, notiamo che laria veramente secca è molto difficile da trovare; potrebbero esserci ancora termiche intorno, ma non probabili, e quelle non molto forti. La conclusione di questa discussione è questa: se vogliamo includere aumenti della gittata massima risultanti dal volo in planata, dobbiamo essere in grado di prevedere il tempo (cosa che non è ancora accaduta, e lo dico come uno che ha passato anni come studente universitario e laureato attivo nella ricerca atmosferica.) Quindi, il volo in planata a lunga distanza non verrà ulteriormente affrontato qui.

Iniziamo la nostra analisi del volo a motore considerando un aereo specifico, ad esempio un aereo passeggeri Boeing 787. Per trovare la sua portata massima, laereo dovrebbe essere completamente rifornito, decollare e volare a una traiettoria di volo a velocità costante, poiché qualsiasi accelerazione (cambiando altitudine o andando più veloce) sarebbe carburante. Quando il serbatoio del carburante si prosciuga, hai raggiunto la massima autonomia di volo a motore (presumendo ovviamente assenza di vento contrario o di coda).

Da un punto di vista analitico, il carburante trasportato dal 787 è la fonte di energia, $ E_s $ , che alimenta il suo motori. Questi motori producono la forza di spinta, $ \ mathbf {T} = T \ mathbf {\ hat {T}} $ diretta orizzontalmente, parallelamente allasse longitudinale del 787 ” e alla traiettoria di volo, che contrasta leffetto della forza di resistenza atmosferica, $ \ mathbf {D} = D \ mathbf {\ hat {D}} $ che si oppone il movimento del 787 “lungo il suo percorso di volo. In condizioni di volo stabili (velocità e altitudine costanti), le forze orizzontali nette sul 787 sono zero, quindi $ \ mathbf {T} + \ mathbf {D} = \ mathbf {0} $ o $ \ mathbf {D} = – \ mathbf {T} $ . Prendendo lampiezza di entrambi i lati di questa espressione troviamo che $ D = T $ in modo che $ \ mathbf {\ hat { D}} = – \ mathbf {\ hat {T}} $ . Troviamo che la spinta generata dai motori ha la stessa magnitudine, ma diretta in senso opposto alla resistenza atmosferica.

Nelle stesse condizioni di volo, troviamo una relazione simile per le componenti verticali della forza che agiscono sul 787, il suo peso, $ \ mathbf {F} _w = F_w \ mathbf {\ hat {F}} _ w $ è bilanciato dallincremento $ \ mathbf {L} = L \ mathbf {\ hat {L}} $ generato dalle ali in modo che $ F_w = m_p g = L $ e $ \ mathbf {\ hat {L}} = – \ mathbf {\ hat {F}} _ w $ dove $ m_p $ è la massa istantanea (= massa al decollo dellaereo, $ m_ {p_0} $ , meno la massa di carburante consumata così di gran lunga generatrice di spinta) del 787 e $ g = 9.8 \, \ text {m / s} ^ 2 $ è laccelerazione gravitazionale standard sulla superficie della Terra. Notiamo qui che, in queste condizioni di volo, sia $ \ mathbf {L} $ che $ \ mathbf {F} _w $ sono perpendicolari a $ \ mathbf {T} $ e $ \ mathbf {D} $ .

Se la spinta viene rimossa in modo che $ \ mathbf {T} = \ mathbf {0} $ , la forza di trascinamento non essere contrastato più a lungo e rallenterà laereo, riducendo la velocità del flusso daria sopra lala, che a sua volta farà sì che lala generi meno portanza, iniziando così la discesa dellaereo (il suo peso è maggiore della portanza prodotta dal ali). Se laereo è “con il muso verso il basso” di un angolo $ \ alpha $ dallorizzontale, la proiezione del vettore del peso dellaereo, $ \ mathbf {F} _w $ sullasse longitudinale del piano “s non sarà più zero, ma sarà invece $ \ mathbf { F} _w \ sin \ alp ha $ diretto in avanti opponendosi alla forza di trascinamento.Se $ \ alpha $ viene scelto in modo che la somma di questa proiezione e del vettore di trascinamento sia zero, laereo scenderà a una velocità costante e la grandezza del trascinamento è dato da $ D = F_w \ sin \ alpha $ . La proiezione del vettore del peso sullasse perpendicolare allasse longitudinale del piano, $ \ mathbf {F} _w \ cos \ alpha $ , è bilanciata dalluguale magnitudo ma vettore di portanza diretto in modo opposto, la cui magnitudine ora diventa $ L = F_w \ cos \ alpha $ . Se formiamo il rapporto $ D / L $ troviamo \ begin {equation} \ frac {D} {L} = \ frac {F_w \ sin \ alpha} {F_w \ cos \ alpha } = \ tan {\ alpha} \ tag {1} \ label {1} \ end {equation} Linverso di questo rapporto, $ L_D = L / D = (\ tan \ alpha) ^ {- 1} $ , è noto in aerodinamica come rapporto tra portanza e resistenza mentre langolo $ \ alpha $ è chiamato angolo di planata . Questi due parametri sono importanti per la caratterizzazione complessiva dellaerodinamica di un air frame. Una volta noto questo rapporto, può essere utilizzato per stimare il trascinare in volo livellato. Ma in volo livellato, la portanza è uguale in grandezza al peso dellaereo, $ L = F_w = m_p g $ . Sostituendo questa espressione nellEq. ~ $ \ eqref {1} $ e risolvendo il trascinamento \ begin {equation} D = L \ tan \ alpha = F_w \ tan \ alpha = m_p g \ tan \ alpha \ tag {2} \ label {2} \ end {equation}

Abbiamo raggiunto il punto in le nostre analisi che abbiamo bisogno di affrontare il budget di massa / energia per il volo dellaereo. Sarà utile separare la massa dellaereo nella sua massa vuota (senza carburante), $ m_ {p_e} $ e la massa di carburante disponibile, $ m_f $ , con la massa iniziale di carburante al decollo data da $ m_ {f_0} $ . Con queste quantità definite, la massa iniziale di decollo dellaereo è data da $ m_ {p_0} = m_ {p_e } + m_ {f_0} $ mentre la massa istantanea è data da $ m_p = m_ {p_e} + m_f $ . Durante il volo, la massa del carburante disponibile, $ m_f $ , varia in modo tale che $ m_ {f_0} \ ge m_f \ ge 0 $ mentre la massa dellaereo, $ m_p $ , varia come $ m_ {p_0} \ ge m_p \ ge m_ {p_e} $ .

Sono necessarie due costanti aggiuntive per determinare lenergia effettiva netta disponibile per lavorare contro la forza di trascinamento quando si consuma la quantità (differenziale) $ \ delta m_f $ di carburante durante il volo per la distanza (differenziale) $ \ delta \ mathbf {r} $ . Il primo di questi, $ \ kappa $ , determina lenergia totale (differenziale), $ \ delta E $ , disponibile dalla combustione della quantità $ \ delta m_f $ di carburante \ begin {equation} \ delta E = \ kappa \ delta m_f \ tag {3} \ label {3} \ end {equation} Per un aereo americano come il 787, $ \ kappa $ avrà unità qualcosa come BTU per libbra di carburante consumato. Il secondo, $ \ eta $ , specifica l efficienza di convertire lenergia disponibile in lavoro effettivo, $ \ delta W $ , generando una spinta che contrasta il trascinamento \ begin {equation} \ delta W = \ eta \ delta E = \ eta \ kappa \ delta m_f = – \ mathbf {T} \ cdot \ delta \ mathbf {r} = – m_p g \ tan \ alpha \ delta r \ tag {4} \ label {4} \ end {equation} dove $ \ delta \ mathbf {r} = \ delta r \ mathbf {\ hat {T}} $ è un vettore di spostamento differenziale lungo la traiettoria di volo durante velocità costante, movimento orizzontale e meno sign spiega il fatto che le riserve di energia dellaereo vengono consumate in quanto tale energia viene utilizzata per contrastare la resistenza (un processo fondamentalmente dissipativo).

Lasciando il $ \ delta $ “diventano derivati, dividendosi per $ m_p $ e utilizzando $ m_p = m_ {p_e} + m_ f $ e sostituendo le variabili integrate con quantità innescate,, Eq. ~ $ \ eqref {4} $ può essere riscritto nella forma integrale \ begin {equation} \ eta \ kappa \ int_ {m_ {f_0}} ^ {m_f} \ frac {dm “} {m_ {p_0} + m”} = – g \ tan \ alpha \ int_0 ^ r dr “\ tag {5} \ label {5} \ end {equation} con i limiti di integrazione valutati al decollo e lattuale posizione di downrange a distanza $ r $ dal decollo.

Eseguendo le integrazioni indicate nellEq. ~ $ \ eqref {5} $ e semplificando, abbiamo il risultato \ begin {equation} m_p = m_ {p_0} e ^ {- \ frac {g \ tan \ alpha} {\ kappa \ eta} r} \ tag {6} \ label {6} \ end {equation} Troviamo che la massa dellaereo, $ m_p $ , è una funzione decrescente esponenziale della distanza percorsa, $ r $ . Lasciando $ r = r_m $ la portata massima dellaereo in cui è stato speso tutto il carburante (quando $ m_f = 0 $ in modo che $ m_p = m_ {p_e} $ ), Eq. ~ $ \ eqref {6} $ diventa \ begin {equation} m_ {p_e} = m_ {p_0} e ^ {- \ frac {g \ tan \ alpha} {\ kappa \ eta} r_m} \ tag {7} \ label {7} \ end {equation} Notiamo la somiglianza di questa espressione con quella dell equazione del razzo di Tsiolkovsky .

Eq. ~ $ \ eqref {7} $ può essere risolto per lintervallo massimo $ r_m $ \ begin {equation} r_m = \ frac {\ kappa \ eta} {g \ tan \ alpha} \ ln \ left (\ frac {m_ {p_0}} { m_ {p_e}} \ right) \ tag {8} \ label {8} \ end {equation} un risultato sorprendentemente semplice, tutto sommato! Questo risultato rimane valido per qualsiasi sistema aerodinamico che ottiene la sua portanza tramite movimento in avanti attraverso laria fornita da un sistema di propulsione che consuma massa per produrre spinta. Potrebbe essere applicato a un Cessna 172, o anche a un modello radiocomandato (RC) alimentato a nitro di un 172. Potrebbe non essere applicato a un modello alimentato elettricamente (a batteria) del 172 perché cè nessuna perdita di massa da una batteria o da qualsiasi tipo di aliante (nessuna spinta o perdita di massa). E può, tuttavia, essere applicato a qualsiasi uccello in volo, compreso il nostro pappagallo!

Per il pappagallo, la fonte di energia è il grasso immagazzinato nel suo corpo. Questa massa viene consumata attraverso processi metabolici che la convertono in $ \ text {CO} _2 $ e vapore acqueo che viene espulso durante la respirazione e come sudore e urina come il pappagallo vola (il pappagallo “s” scarica “per così dire!). Il contenuto energetico del grasso corporeo ( $ \ kappa $ come definito nellEq. ~ $ \ eqref {3} $ ) è 9 (cibo) Calorie per grammo. Un alimento è uguale a una chilocaloria che a sua volta è uguale a 4184 Joule in unità SI, vedi Wikipedia articolo Energia alimentare .

Si stima che lefficienza della conversione dellenergia immagazzinata nel corpo umano in lavoro meccanico sia $ 18 \% $ – $ 26 \% $ (vedi la pagina Wikipedia Muscle ). Ci si aspetterebbe numeri simili per altri vertebrati a sangue caldo, quindi, per una cifra significativa, prendiamo $ \ eta = 20 \% = 0.2 $ (una quantità adimensionale).

Sembra esserci un intervallo molto ampio per la percentuale di massa corporea che è grassa. Alcuni uccelli migratori hanno fino a $ 70 \% $ (vedi Super atleti obesi: migrazione alimentata dal grasso in uccelli e pipistrelli , tuttavia il pappagallo non è generalmente considerato un uccello migratore. La pagina web Confronto del chilometraggio di volo per varie specie di pappagalli selvatici indica una distanza di migrazione di 320 km per i pappagalli dal becco grosso, ad esempio. Quindi il numero $ 70 \% $ è probabilmente troppo grande. Allaltro estremo, la carne macinata è considerata magra se contiene $ 10 \% $ fat, ma più in generale è più vicino a $ 20 \% $ . Selezioneremo un valore un po al di sotto della mediana di questi estremi, ad esempio $ 35 \% $ .

Una massa tipica per un pappagallo è un altro numero difficile da accertare, poiché è una differenza molto grande nella massa corporea per i vari membri della famiglia dei pappagalli. Ad esempio, la pagina web Peso medio degli uccelli delle specie comuni di pappagalli fornisce dati per 52 specie di pappagalli con collegamenti ad altre quattro specie, ciascuna con diverse voci. Questi variano da 10 grammi per il fringuello zebra a 1530 grammi per lara dalle ali verdi che coprono una gamma di massa di oltre due ordini di grandezza! Risultato: non esiste un pappagallo “tipico”! Sceglieremo il pappagallo dal becco grosso poiché abbiamo alcuni dati a lunga distanza con cui confrontare il nostro risultato. La pagina di Wikipedia Pappagallo dal becco grosso fornisce il suo intervallo di massa di 315-370 grammi, utilizzeremo 370 grammi in modo che $ m_ {p_0} = 0.37 \, \ text {kg} $ , $ 35 \% $ di cui deve essere considerato carburante in modo che $ m_ {f_0} = 0.16 \, \ text {kg} $ lasciando la “s” massa vuota “del pappagallo a $ m_ {p_e} = 0.24 \, \ text {kg} $ .

Abbiamo un parametro rimanente da stimare, che è langolo di pendenza di planata, $ \ alpha $ , utilizzato per trovare la portanza per rapporto di resistenza sopra. Considera lordine di grandezza delle stime di $ \ alpha = 10 ^ 0 = 1 \, \ text {radian} \ approx 60 ^ o $ , $ \ alpha = 10 ^ {- 1} = 0.1 \, \ text {radian} \ approx 6 ^ o $ o $ \ alpha = 10 ^ {- 2} = 0,01 \, \ text {radian} \ circa 0,6 ^ o $ . Chiaramente $ 60 ^ o $ è troppo ripido e $ 0,6 ^ o $ è troppo superficiale, lasciando $ 6 ^ o $ come unico ordine accettabile di scelta della magnitudine, quindi impostiamo $ \ alpha = 10 ^ {- 1} $ radiante, un numero valido per la maggior parte degli uccelli in volo.

Ripetizione Eq. ~ $ \ eqref {8} $ sopra, $$ r_m = \ frac {\ kappa \ eta} {g \ tan \ alpha} \ ln \ left (\ frac {m_ {p_0}} {m_ {p_e}} \ right) $$ e sostituendo i valori del pappagallo dallalto (inclusi i fattori di conversione delle unità)

$$ r_m = \ frac {\ left [\ left (\ frac {4184 \, \ text {J}} {\ text {gm}} \ right) \ left (\ frac {1000 \, \ text {gm}} {\ text {kg}} \ right) \ left (\ frac {\ text {kg m} ^ 2} {\ text {J s} ^ 2} \ right) \ right ] \ left (0.2 \ right)} {\ left (\ frac {9.8 \, \ text {m}} {\ text {s} ^ 2} \ right) \ left (\ tan \ left (0.1 \ right) \ destra)} \ ln \ sinistra (\ frac {0,37 \, \ text {kg}} {0,24 \, \ text {kg}} \ destra) \ circa 370 \ text {km} $$

troviamo la risposta alla domanda: “Quanto lontano può volare un pappagallo [sotto tensione] in un solo giorno?” essere

$$ \ boxed {r_m \ approx 370 \, \ text {km}} $$

a numero che è in stretto accordo con i dati (limitati) disponibili che hanno fornito un raggio di migrazione giornaliero effettivo (rispetto al massimo ) di 320 km.

“È interessante notare che questo massimo raggio per il volo a motore può essere visto come il minimo raggio quando è incluso il volo in planata . In condizioni meteorologiche ideali , la portata massima effettiva potrebbe essere notevolmente estesa se il pappagallo sfruttasse le termiche disponibili incontrate durante il volo.