la funzione di trasferimento del filtro di Bessel è definita tramite polinomi di Bessel. Se consideriamo ad esempio un filtro di 2 ° ordine, la funzione di trasferimento è: $$ H (s) = \ frac {3} {s ^ 2 + 3 * s + 3} $$ Volevo costruire una simulazione per tale filtro con unarchitettura a chiave Sallen. Pertanto ho consultato questa guida alla progettazione di TI. Definiscono la funzione di trasferimento di un passa basso del 2 ° ordine come segue:
Ao è 1 poiché voglio che il guadagno sia lunità. Ho esaminato la tabella seguente per calcolare correttamente i valori C e R.
Quindi la funzione di trasferimento diventa: $$ H (s) = \ frac {1} {0.618 * s ^ 2 + 1.3617 * s + 1} $$
Ho eseguito la simulazione e ho esaminato il diagramma di Bode. Ha mostrato il risultato desiderato (la frequenza di taglio di -3db era quella calcolata).
Tuttavia non capisco perché la funzione di trasferimento abbia un aspetto così diverso. Non è decisamente un polinomio di Bessel. Ho controllato la risposta al gradino e ho osservato un overshoot dello 0,4% come ci si aspetterebbe da un filtro Bessel. Per questo ho 3 domande:
- Come mai la funzione di trasferimento nella guida alla progettazione ti non è un polinomio di Bessel.
- La posizione dei poli di un filtro Bessel di secondo ordine essere lo stesso per qualsiasi filtro con una certa frequenza di taglio?
- Può un passa basso bessel del secondo ordine avere un fattore Q diverso da 0,5773?
Grazie!
Commenti
- La costante nel denominatore dellultima equazione H (s) deve essere ” 1 ” invece di ” 3 “. Ultima domanda: NO !. È solo il fattore Q che determina la risposta di Bessel.
- hai ragione, era un errore di battitura. Non ha ancora molto a che fare con un polinomio di Bessel.
- Perché no? È una tipica funzione di filtro con una risposta in frequenza chiamata ” Thomson-Bessel “. Qual è il tuo problema? Ovviamente, la funzione di filtro non è identica al ” polinominale di Bessel matematico “.
- Io non ‘ per capire perché hai questa definizione matematica da un lato e una funzione di trasferimento completamente diversa dallaltro. Da dove provengono questi coefficienti?
- I coefficienti dei cosiddetti filtri di Bessel sono calcolati sulla base del requisito di un ritardo di gruppo massimamente piatto nella banda passante (da confrontare con unampiezza massima piatta per i filtri Butterworth) . Si può dimostrare che durante il calcolo dei coefficienti utilizziamo i noti polinomi di Bessel (questa è una procedura piuttosto complicata) – ma questo non significa che lampiezza della funzione di trasferimento abbia una risposta che assomiglia a funzioni di Bessel. È – come accennato – il procedimento matematico alla base della determinazione dei coefficienti. OK?
Risposta
Come mai il trasferimento la funzione nella guida alla progettazione di ti non è un polinomio di Bessel.
Diamo unocchiata alla funzione di trasferimento che hai scritto: –
\ $ H (s) = \ dfrac {1} {0.618s ^ 2 + 1.3617s + 1} \ $
Riorganizzazione: –
\ $ H (s) = \ dfrac {1.6181} {s ^ 2 + 2.2034s + 1.6181} \ $
Lequazione è ora in forma standard: \ $ H (s) = \ dfrac {\ omega_n ^ 2} {s ^ 2 + 2 \ zeta \ omega_ns + \ omega_n ^ 2} \ $
E chiaramente \ $ \ omega_n \ $ = \ $ \ sqrt {1.6181} \ $ quindi 2.2034 / \ $ \ sqrt {1.6181} \ $ = 1.732. Questo bit è importante perché è \ $ \ sqrt3 \ $.
Per un filtro passa basso di 2 ° ordine Bessel 2 \ $ \ zeta \ $ = \ $ \ sqrt3 \ $ quindi zeta è 0,866.
Nella foto ho “manipolato R per darmi un rapporto di smorzamento (zeta) di 1,732 preciso – guarda il picco nella risposta al gradino – 1.00433 volt – esattamente giusto per Bessel. Guarda il ritardo di fase tracciato sul grafico superiore: al massimo piatto e che diventa gradualmente di 90 gradi alla frequenza di risonanza naturale. Fd (la frequenza smorzata) è precisamente 0,5 – indicativo anche di Bessel.
Può un passa basso di Bessel del secondo ordine avere un fattore Q diverso da 0,5773?
0,5773 è il reciproco di \ $ \ sqrt3 \ $ e non deve essere quella Q per un LPF Bessel.
Commenti
- Il motivo per cui il polinomio è diverso è per il ridimensionamento della frequenza. Un Bessel non in scala (prima formula OP ‘) avrà \ $ \ omega_0 = \ sqrt {3} \ $, con unattenuazione di ~ -1.597dB @ 1Hz – niente di insolito, Bessel è normalmente per il ritardo di gruppo piatto, non la frequenza – quindi TI lo ha ridimensionato in modo che ‘ sia il classico -3dB.
- @aconcernedcitizen perché non rendere questa una risposta piuttosto che appuntarla alla mia risposta a meno che, ovviamente, tu non sia troppo sottilmente sottolineando un errore nella mia risposta che io ‘ sono troppo stupido riconoscere?
- Lavevo scritto come commento in modo che la risposta a cui sto facendo il commento possa essere aggiornata, se necessario. Ma se dici che dovrebbe essere una risposta, così sia. Non ‘ non so da dove viene lo ” stupido “.
Risposta
Un filtro di Bessel ha, come correttamente mostrato nella tua prima formula, \ $ \ omega_0 = \ sqrt { 3} \ $. Non è insolito se si pensa che, normalmente, un filtro di Bessel viene utilizzato per il suo ritardo di gruppo piatto, piuttosto che per il suo comportamento in frequenza (come dice @LvW nel suo commento). Ma limplementazione di un filtro con quella funzione di trasferimento darà un ~ Attenuazione 1.597dB@1Hz, che non rende la risposta classica. Quindi, TI ha applicato una scala di frequenza in modo che lattenuazione sia di -3dB a 1Hz. Come accade, la frequenza al quadrato (pulsazione) è \ $ \ phi \ $ = 1.618 …, dopo di che hanno riorganizzato i termini per adattarli alla loro topologia operazionale.