I numeri sono davvero infiniti? [chiuso]

Non sei lunico a mettere in discussione linfinita miriade di numeri. In effetti, ci sono intere scuole di pensiero che esplorano lo spettro infinito dei numeri, intere scuole di pensiero che esplorano i numeri transfiniti oltre lo spettro infinito e intere scuole di pensiero che esplorano come fare matematica dove gli infiniti non esistono (note come scuole finitiste di pensiero)!

Fondamentale per la discussione sui numeri infiniti è il concetto di aritmetica di Peano. Giuseppe Peano ha sviluppato un insieme di assiomi per i cosiddetti “numeri naturali”, che sono informalmente definiti come la sequenza 0, 1, 2, 3, 4. .. Gli assiomi sono:

• 0 è un numero naturale (lo dichiariamo esistente, è una costante)
• Per ogni numero naturale x, x = x (riflessivo: tutto” è uguale “a se stesso)
• Per tutti i numeri naturali x e y, se x = y quindi y = x (proprietà simmetrica di uguaglianza)
• Per tutti i numeri naturali x, y, z, if x = y e y = z quindi x = z (proprietà transitiva di uguaglianza)
• Per tutti i a e b, se b è un numero naturale e a = b quindi a è un numero naturale (luguaglianza è “chiusa”)

Dobbiamo quindi definire una funzione S, nota come funzione successore, in modo che possiamo avere numeri maggiori di 0. Informalmente, S(0)=1, S(1) = 2 e così via on.

• Per ogni numero naturale n, S(n) è anche un numero naturale
• Per tutti i numeri naturali m e n, m = n se e solo se S(m) = S(n) (S è uniniezione)
• Per ogni numero naturale n, S(n) = 0 è falso (il successore di un numero non è mai 0 … aka 0 è il “primo” numero naturale)

Ora abbiamo bisogno dellassioma che rende la tua domanda così squisitamente interessante, lassioma dellinduzione:

• if f è una funzione tale t f(0) è vero e, per ogni numero naturale n, se f(n) è vero allora f(S(n)) è vero allora f(n) è vero per tutti i numeri naturali.

Questultimo assioma è il uno che causa un comportamento così interessante. È quello che cerca di raggiungere linfinito e afferma di offrire modi per afferrarlo. E, come tutti gli assiomi, non afferma necessariamente che è “corretto”, ma semplicemente che è dichiarato vero entro i confini delle regole dellaritmetica (come definita da Peano).

Gran parte dellaritmetica è stata formalizzata in quella che è nota come “teoria degli insiemi”, che è il fondamento di gran parte della nostra matematica perché sembra essere fondamentale su come è organizzato luniverso. Gli insiemi trattano particolari raccolte di cose, come “linsieme di numeri naturali inferiori a 5”, che è scritto come {0, 1, 2, 3, 4}.Laritmetica di Peano è più comunemente mappata sulla teoria degli insiemi utilizzando la seguente costruzione:

• Linsieme vuoto {} è dichiarato come costante 0 negli assiomi di Peano
• La funzione successore S(n) è definita come` S (n) = {{}, {n }} (Il successore di qualsiasi numero è definito come lunione dellinsieme vuoto e di un insieme contenente il numero precedente)

Questa definizione sembra un po ottusa, ma è stata scelta perché è facile mappare tutti gli altri assiomi di Peano su queste due definizioni. Con ciò, acquisiamo la capacità di utilizzare assiomi della teoria degli insiemi per manipolare i “numeri” in modi molto potenti e fondamentali. Uno dei più importanti di questi è il concetto di cardinalità di un set. Questo è il “numero” di elementi in un set. Informalmente {1, 2, 3}, {3, 4, 5} e {apple, orange, orangutan} hanno tutti una cardinalità di 3 perché hanno 3 elementi, ma {2, 4, 6, 8} ha una cardinalità di 4.

Questo è dove diventa complicato, perché risulta che “linsieme di tutti i numeri naturali” è un insieme valido, tipicamente rappresentato con un N maiuscolo, quindi possiamo chiederci “qual è la cardinalità di linsieme di tutti i numeri naturali? “La risposta è” infinito “, e questa affermazione è fatta come una definizione. Definiamo la cardinalità di N un numero particolare, noto come ℵ₀, a cui viene assegnato il nome inglese “infinito numerabile”. Sì, per i matematici, linfinito è numerabile, perché teoricamente puoi iniziare da 0, contare verso lalto 1, 2, 3, 4, 5 … e “raggiungere” ℵ₀ secondo lassioma dellinduzione. Esistono anche innumerevoli infiniti, come ℵ₁, noto come cardinalità del continuum o numero di numeri reali (assumendo che lipotesi del continuum sia vera … ci sono anche opinioni diverse su questo). Cè persino una scuola di pensato a numeri “transfiniti” in grado di gestire frasi come “Doppietta cane ti sfido linfinito più una volta!”

Benvenuto nella tana del coniglio dellinfinito in matematica. Abbiamo definito la parola per significare qualcosa qui. È definita rispetto a un insieme di assiomi. Questi assiomi sono validi nella “vita reale?” La maggior parte dei matematici trova conveniente presumere che lo facciano. Il computer su cui stai leggendo questo articolo oggi è stato sviluppato utilizzando molti modelli di calcolo e le radici del calcolo si trovano in profondità nellinfinito (in particolare il suo concetto di “limiti). Finora, questa ipotesi ci ha fatto abbastanza bene. Questa ipotesi è” vera? “Quello” è più complicato domanda. Ci sono scuole di pensiero finitiste che partono dal presupposto che il numero dei numeri naturali sia finito, di solito correlato alla capacità finita della mente umana o delluniverso in un modo o nellaltro. Se il tempo è finito e il calcolo è finito, allora non si può teoricamente calcolare “linfinito”, quindi sostengono che non esiste. Hanno ragione? Ebbene, sì … secondo le loro definizioni, proprio come laffermazione opposta è vera per le definizioni degli assiomi di Peano e della teoria degli insiemi. Entrambi possono essere veritieri perché ognuno di essi definisce la parola “infinito” per indicare qualcosa di leggermente diverso.

In conclusione, può valere la pena dilettarsi in linguistica scelta: “Allora, dovremmo dire che i numeri sono infiniti?” Possiamo dire un gran numero di cose. Se queste cose soddisfano lideale di verità (di per sé una parola molto difficile da descrivere formalmente) dipende in gran parte dai significati individuali per parole. Se si accetta la definizione di “infinito” data dalla matematica tradizionale, allora “i numeri sono infiniti” è vera, letteralmente perché la matematica tradizionale definisce “infinito” come tale. Se si accetta la definizione data dai finitisti, allora “i numeri sono infiniti” è falsa, letteralmente perché i finitisti definiscono “infinito” come tale. Puoi scegliere la tua definizione. Può anche essere contestuale (non è raro trovare matematici cristiani che definiscono “infinito” allinterno della loro religione in modo leggermente diverso da come lo definiscono allinterno della matematica, senza effetti negativi oltre a due concetti molto simili a cui viene assegnata la stessa parola nel loro vocabolario) .

Commenti

• " ci sono intere scuole di pensiero che esplorano lo spettro infinito dei numeri ". Nessuno può esplorare la quantità infinita di numeri perché sono infiniti. Avresti bisogno di un numero infinito di anni e di un numero infinito di studiosi.
• Questa risposta contiene quello che presumo sia un errore innocente. Il valore della cardinalità del continuo è una delle grandi incognite della teoria degli insiemi. ZFC non è abbastanza forte per rispondere a stabilire un valore. Dire che " c " è uguale ad aleph-1 significa presumere la verità dellipotesi del continuo.
• Mi piace davvero questa risposta.Per quanto qualsiasi cosa sia ciò che diciamo quando cè un accordo popolare, questa risposta va anche oltre, molto rapidamente e fornisce chiaramente la struttura matematica in base alla quale entrambi definiamo i termini e specificamente come linfinito viene definito usando lo stesso. +1
• @NickR Grazie per la cattura! È stata apportata una modifica!
• @JohnAm Puoi esplorarli in un tempo finito, a patto di fare una media di una quantità di tempo infinita su ogni numero 😉 Solleva la questione di quanto accuratamente noi esplora alcuni dei numeri più grandi, non ' questo!

È generalmente accettato che i numeri naturali soddisfino gli assiomi Dedekind-Peano (di solito chiamati solo dopo Peano perché Dedekind si irrigidisce). Questi assiomi implicano che ci sono infiniti numeri naturali. E non è difficile capire perché: non può esserci un numero naturale più grande n, poiché n + 1 è un numero naturale più grande.

Più in generale, in gli assiomi standard (ZFC) per la teoria degli insiemi possiamo dimostrare lesistenza di un bel po di insiemi infiniti. Questo è un po meno utile per i tuoi scopi, poiché lesistenza di un insieme infinito è integrato in ZFC come assioma, ma poiché ZFC è ampiamente accettato da matematici e filosofi vale la pena sottolinearlo.