Mi è stata presentata una diapositiva in power point da un amico sullinsegnamento della matematica e una delle sue diapositive parlava dei “sette numeri di riferimento”. Ha detto che:
I sette numeri di riferimento per sviluppare un senso dei numeri “completo” sono: $ 0, \ frac {1} {10}, \ frac {1} {2}, 1, 10, 12, $ e $ 100 $. Questi numeri costituiscono la base del curriculum di matematica nellistruzione primaria e secondaria.
Sfortunatamente, quando è stato costretto a farlo, il mio amico non è stato in grado di spiegare perché questi i numeri erano “benchmark”. Qualcuno sa a cosa si potrebbe riferire o, meglio ancora, qualcuno sa da dove ottiene queste informazioni?
Commenti
- Perché non ' non gli chiedi la fonte? Strano, ' presenta materiale che non può ' spiegare.
- A me (e altri ) un numero di benchmark è utile su cui basare le stime. Ad esempio, 1/2 è un buon punto di riferimento e ci aiuta a capire dove si trova 3/8 sulla linea dei numeri rispetto a 1/2. Tuttavia, ' non sono sicuro di cosa ci faccia 12 lì. E questo particolare elenco sembra arbitrario.
- La maggior parte di essi è abbastanza semplice da indovinare la motivazione, ma sicuramente i numeri da soli non sono sufficienti per sviluppare qualsiasi tipo di " completa " rilevamento dei numeri. @ncr Lunico numero apparentemente arbitrario, 12, è probabilmente dovuto al sistema non metrico in cui, ad esempio, si ha una dozzina (12) o – non molto tempo fa – un lordo (144). Più 12 pollici in un piede, 12 ore in ogni metà della giornata, e molti studenti negli Stati Uniti imparano la tavola pitagorica 12 per 12. Non posso ' dire nientaltro di definitivo su questo elenco di " numeri di benchmark, " tranne che non ho mai visto la raccolta discussa formalmente.
- Non è stato in grado di fornirmi il sorgente (rendendomi ancora più interessato a questo)
- Questo mi sembra molto arbitrario. In quanto matematico, non darei alcun significato speciale a questi numeri. Soprattutto $ 12 $ non sarebbe importante in molte parti del mondo in cui viene utilizzato il sistema metrico. È piuttosto arbitrario includere $ 100 $ ma non, diciamo, $ 1000 $. Inoltre, perché includere $ 1/2 $ ma non $ 2 $?
Answer
Un volume decente sulla matematica elementare è Matematica per insegnanti elementari (Beckmann, 2010). Il libro ha lo scopo di aiutare a rafforzare la conoscenza degli insegnanti della matematica alla base delle idee nei curricula elementari (in particolare nei curricula di riforma, credo). In quanto tale, è spesso un buon posto per controllare cose come questa.
I benchmark (chiamati anche “punti di riferimento”) vengono introdotti nel contesto del confronto delle frazioni. Quando gli studenti cercano di determinare quale frazione è più grande, $ \ frac {4} {9} $ o $ \ frac {3} {5} $, una strategia suggerita è che gli studenti ragionino sulla loro relazione con un altro numero, come la frazione $ \ frac {1} { 2} $:
Quando abbiamo confrontato $ \ frac {4} {9} $ e $ \ frac {3} {5} $ confrontando entrambi frazioni con $ \ frac {1} {2} $, abbiamo utilizzato $ \ frac {1} {2} $ come benchmark (o punto di riferimento) . Le frazioni $ \ frac {1} {2} $, $ \ frac {1} {4} $, $ \ frac {3} {4} $, $ \ frac {1} {3 } $ e $ 1 $ sono buoni da usare come benchmark. (p. 73)
È chiaro da questo testo che i numeri sono in qualche modo arbitrari ; non si intende un elenco definitivo dei numeri dei benchmark. Gli studenti sceglierebbero un benchmark frazionario che li aiuti a confrontare.
Non posso dire se altri usano i benchmark allo stesso modo (una rapida occhiata ad alcuni altri libri che ho a portata di mano non mostrano il termine). Tuttavia, luso qui è chiaro: un punto di riferimento numero è un numero utile per ragionare su un problema. In questo caso, il benchmark viene utilizzato come punto di riferimento per il confronto delle frazioni.
Lintento è incoraggiare il ragionamento piuttosto che la procedura. Ci sono algoritmi per alcuni studenti viene insegnato a usare per il confronto delle frazioni, che consente loro di sostituire il ragionamento matematico con un paio di passaggi memorizzati e un po di aritmetica. Ma il ragionamento consente loro di praticare congetture, lavorare per trovare una giustificazione per la loro risposta e, infine, avere un modo per difendere la loro risposta diversa da “questo è ciò che la procedura ha prodotto”.
Dovrei th inchiostro qualsiasi numero utile utilizzato nel ragionamento potrebbe essere chiamato un punto di riferimento. Ad esempio, nella mia risposta a unaltra domanda (visto qui) , ho scritto sul ragionamento degli studenti che trasforma un sottraendo nel numero $ 2000 $. In tal caso, $ 2000 $ è utile.
Un altro tipo di ragionamento matematico che potrebbe trarre vantaggio da un benchmark è la stima. I numeri possono essere sostituiti da benchmark vicini che consentono un calcolo più rapido, se lobiettivo è semplicemente quello di trovare una risposta (una strategia spesso abbastanza utile per molte applicazioni del mondo reale).
In sintesi, non credo che ci sia il supporto per un elenco definitivo di benchmark . quelli forniti dal dottor Beckmann sono suggerimenti (“buoni da usare”) ma il vero test è se sono utili al pensatore nel mezzo del loro ragionamento matematico.
Opere citate:
Beckmann, S. (2010). Matematica per insegnanti elementari. New York: Pearson Addison-Wesley.
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- forse ' sono solo pigro, ma da bambino penso che avrei semplicemente calcolato lespansione decimale per confrontare due frazioni. I ' ho letto un po di storia della fisica che riecheggia questo sentimento … che il sistema dei numeri decimali era estremamente importante per laspetto di approssimazione del pensiero di Newton ' … ma io ' non sono un esperto.
- @ JamesS.Cook It ' non è pigro nellusare la rappresentazione che t si adatta alle tue capacità e allapplicazione a portata di mano. Il lavoro in classe ha un obiettivo di apprendimento aggiuntivo, ovviamente. In questo caso, rivolgendosi al ragionamento per il confronto (in questo, è in contrasto con altri metodi " trick "). Per curiosità, quando da bambino confrontavi frazioni con decimali, quale ragionamento collegava le rappresentazioni frazionarie e decimali? In altre parole, come hai dimostrato informalmente a te stesso che la rappresentazione decimale era veramente lo stesso numero?
- Se ricordo bene, e questo è discutibile, credo che fosse il significato standard. Ad esempio, $ 1/4 = 0,2 + 0,05 $ quindi costruiamo i decimali sommando multipli interi di $ 10,1,1 / 10, 1/100 $ … insieme. La necessità di una serie è stata apprezzata solo molto più tardi, le approssimazioni erano sufficienti per i miei scopi da bambino, non ' ricordo di aver riflettuto sulla convergenza nel parco giochi.
- @JamesS .Cook Quindi il tipo di conoscenza " atomic " qui è che $ \ frac {1} {10} = 0.1 $ (e così acceso per altre frazioni con potenze di dieci). Ma dovresti anche giustificare che $ \ frac {2} {10} + \ frac {5} {100} = \ frac {1} {4} $. A prima vista questo sembra più sofisticato rispetto al confronto di due frazioni sulla base di un benchmark (ad esempio ' non avresti bisogno di quella strategia di benchmark a questo punto). Le frazioni del denominatore del potere di dieci sono ovviamente una parte vitale della comprensione di come il valore della posizione si applica ai valori frazionari.
Risposta
Non posso” confermarlo, ma qui “un pensiero come matematico e padre di bambini in età scolare (in modo che emergano i parametri di riferimento):
1: Rappresenta lintera idea di cosa sia un numero. Una volta ottenuto 1, devi solo memorizzare 2, 3, …, 9.
0: rappresenta la comprensione che anche nulla è una quantità / numero.
10: Allinizio “10” è solo un altro simbolo per un numero come “7”. Ma se capisci davvero che “sa 1 e 0, i simboli 11, …, 99 diventano immediatamente comprensibili.
100: capire” dieci “è una cosa. Il passo successivo è capire che deve esserci un nuovo nome per dieci 10. Una volta ottenuto “cento”, “mille”, “diecimila”, “milione” e così via diventano memorizzazione.
1/2: Essere in grado capire veramente 1/2 significa capire cosa sono le frazioni. So che gli studenti hanno davvero difficoltà con le frazioni, ma tutto inizia con 1/2.
1/10: Una volta ottenute le frazioni, la questione dei decimali la rappresentazione è naturale. Quindi immagino che 1/10 significhi davvero capire 0.1.
12: Un po strano nella lista. La mia ipotesi è una delle due possibilità: è importante perché la maggior parte degli studenti memorizza le tabelline in 12×12, o perché in inglese “dodici” è lultimo numero il cui nome non dice nulla sulla sua rappresentazione decimale, ad es. Forse avrebbe dovuto “essere stato chiamato “seconteen”.
Commenti
- Se guardi da vicino, " dodici " contiene almeno una forma di " due. " Vedi anche etymonline.com/index.php?term=twelve .
- Dodici è il primo numero abbondante e anche la chiave nel modello di orologio che alcuni insegnanti usano per le frazioni. Non ' non so se è per questo che ' è nellelenco, ma certamente ha senso il motivo per cui potrebbe essere su un elenco di numeri importanti in 4a e 5a elementare.
- Il numero intero " 1 " è lidentità moltiplicativa universale .Sebbene " 2 " non sia ' t necessario come base per i numeri interi, lo farei considera il fatto che moltiplicare qualsiasi cosa per il numero intero due equivale ad aggiungerlo a se stesso è piuttosto importante. Considero " 4 " importante perché moltiplicare qualcosa per quattro equivale ad aggiungere qualcosa a se stesso e aggiungere il risultato a stesso , mentre " 3 " è importante perché moltiplicare per tre richiede laggiunta di qualcosa a se stesso e quindi laggiunta del risultato alla cosa originale .