La legge di Biot-Savart è ottenuta empiricamente o può essere derivata?

$ \ def \ VA {{\ bf A}} \ def \ VB {{\ bf B}} \ def \ VJ {{\ bf J}} \ def \ VE {{\ bf E}} \ def \ vr {{\ bf r}} $ La legge di Biot-Savart è una conseguenza delle equazioni di Maxwell.

Assumiamo Maxwell “s e scegli lindicatore di Coulomb, $ \ nabla \ cdot \ VA = 0 $. Quindi $$ \ nabla \ times \ VB = \ nabla \ times (\ nabla \ times \ VA) = \ nabla (\ nabla \ cdot \ VA) – \ nabla ^ 2 \ VA = – \ nabla ^ 2 \ VA. $ $ Ma $$ \ nabla \ times \ VB – \ frac {1} {c ^ 2} \ frac {\ partial \ VE} {\ partial t} = \ mu_0 \ VJ. $$ Nello stato stazionario questo implica $$ \ nabla ^ 2 \ VA = – \ mu_0 \ VJ. $$ Quindi, abbiamo lequazione di Poisson per ogni componente dellequazione precedente. La soluzione è $$ \ VA (\ vr) = \ frac {\ mu_0} { 4 \ pi} \ int \ frac {\ VJ (\ vr “)} {| \ vr- \ vr” |} d ^ 3 r “. $$ Ora dobbiamo solo calcolare $ \ VB = \ nabla \ times \ VA $. Ma $$ \ nabla \ times \ frac {\ VJ (\ vr “)} {| \ vr- \ vr” |} = \ frac {\ VJ (\ vr “) \ times (\ vr- \ vr”)} {| \ vr- \ vr “| ^ 3} $$ e quindi $$ \ VB (\ vr) = \ frac {\ mu_0} {4 \ pi} \ int \ frac {\ VJ (\ vr”) \ times (\ vr- \ vr “)} {| \ vr- \ vr” | ^ 3} d ^ 3 r “. $$ Questa è la legge di Biot-Savart per un filo di spessore finito. Per un filo sottile si riduce a $$ \ VB (\ vr) = \ frac {\ mu_0} {4 \ pi} \ int \ frac {I d {\ bf l} \ times (\ vr- \ vr “)} {| \ vr- \ vr “| ^ 3}. $$

Addendum : in matematica e scienze è importante mantenere in mente la distinzione tra lo sviluppo storico e logico di un soggetto. Conoscere la storia di un soggetto può essere utile per avere un senso delle personalità coinvolte e talvolta per sviluppare unintuizione sullargomento. La presentazione logica del soggetto è il modo in cui i professionisti la pensano. Incapsula le idee principali nel modo più completo e semplice. Da questo punto di vista, lelettromagnetismo è lo studio delle equazioni di Maxwell e della legge della forza di Lorentz. Tutto il resto è secondario, compresa la legge Biot-Savart.

Commenti

• Ma come ‘ lho visto fare, Maxwell ‘ le equazioni derivano dalla legge biot-savart, che renderebbe questa circolare.
• @JLA: I ‘ ho aggiunto qualcosa a indirizza la ” circolarità ” a cui ti riferisci.
• @JLA, non è possibile derivare matematicamente Maxwell ‘ s equazioni dalla legge di Biot Savart. Quello che le persone a volte fanno è dedurre (arrivare alle) equazioni di Maxwell ‘ dalla legge di Biot-Savart per un caso specifico come le correnti stazionarie e poi generalizzarle a tutte le situazioni con la parola.
• Per motivi di chiarezza, gli operatori differenziali vengono applicati a $ {\ bf r} $ e non $ {\ bf r ‘} $, che ‘ s come vengono scambiati con integrali superiori a $ {\ bf r ‘} $.
• @AG In effetti, prendere la derivata rispetto a $ {\ bf r ‘} $ non ha senso.Abbiamo $ \ nabla = \ sum \ hat e_i \ partial / \ partial x_i $, non $ \ sum \ hat e_i \ partial / \ partial x ‘ _i $ (per il quale io scriverebbe $ \ nabla ‘ $ o qualcosa del genere).

Può essere vero che nei tempi antichi la gente misurava la forza risultante da una corrente filamentosa, scoprendo la legge di Biot-Savart, e poi a sua volta la usava come ispirazione per costruire le equazioni di Maxwell. Se quella è come è realmente accaduto storicamente, bene.

Ma questo è analogo a un archeologo alieno tra 10 milioni di anni che trova una mano e un piede scheletrici nella Terra. Dalla mano larcheologo arriva a capire che cosa volesse farne lanimale che aveva quella mano: che poteva afferrare e usare strumenti e così via. Dal piede, larcheologo arriva a capire che lanimale a cui apparteneva camminava su due zampe e che in genere pesava in età adulta intorno ai 100-300 libbre.

Solo in seguito larcheologo che la mano e il entrambi i piedi appartenevano allo stesso animale: un essere umano. Ma la natura del lavoro significa che il puzzle di ciò che era un essere umano deve essere suddiviso in blocchi che possono essere compresi individualmente prima che lintera immagine possa riunirsi. Detto questo, sarebbe al contrario suggerire che la mano e il piede sono più fondamentali dellessere umano stesso.

Le equazioni di Maxwell sono state costruite per essere coerenti con la legge di Biot-Savart e altre informazioni , come la legge di Coulomb. Quindi, puoi derivare Biot-Savart da Maxwell, ma non il contrario, perché Maxwell è più generale e onnicomprensivo.

Se già lo sai la legge della forza di Lorentz, puoi dedurre la forza del campo magnetico da un filo semplicemente sparando particelle di prova cariche vicino al filo e osservando il loro movimento. Ma questo mette in dubbio il modo in cui conosci già la legge della forza di Lorentz, e così su.

Puoi andare in tondo tutto il giorno su ciò che è o non è fondamentale, su ciò che deve essere basato sullosservazione sperimentale e su ciò che è semplicemente costruito per essere coerente con quelle osservazioni, ma spesso cè una preferenza per “semplici” osservazioni sperimentali considerate fondamentali rispetto a costrutti teorici t che incorpora molte di queste osservazioni – vedi il commento di Chris White secondo cui le equazioni di Maxwell possono essere derivate dalla legge di Coulomb e da altre cose.

Per me, questo è sciocco. Le equazioni di Maxwell incorporano la somma totale delle nostre osservazioni (quelle che si adattano al regime classico, almeno). Per me, è ciò che sappiamo dellelettromagnetismo classico. Dire che puoi derivare Maxwell ” s equazione con un solo risultato più alcune supposizioni … beh, manca il punto che quelle supposizioni anche dovevano essere testate e verificate in primo luogo. Per me, è molto al contrario individuare casi speciali (campi elettrici puri, magnetici puri, statici o dinamici) e trattarli come “fondamentali”.

Modifica: ma in realtà, un fisico deve funzionare in entrambe le direzioni. Per creare una nuova teoria, spesso abbiamo casi speciali che non sappiamo essere collegati e dobbiamo collegarli insieme. Questo sta costruendo le equazioni di Maxwell dalla legge di Coulomb e da Biot-Savart. Per analizzare più facilmente un problema particolare, per il quale “non siamo sicuri che esista una formula per casi speciali, dobbiamo ricorrere alla descrizione più generale (Maxwell) e cercare di ridurla a qualcosa di più semplice e più facile da risolvere (nel in caso di assenza di corrente e assenza di dipendenza dal tempo, si può tornare alla legge di Coulomb). Entrambi gli approcci sono necessari per essere il più flessibili possibile.

Partendo da un esperimento di tipo Rowland Ring è possibile definire permeabilità come misura del flusso generato in un volume unitario per ampere-giro. Se quindi assumiamo che questo flusso si dissolva come una legge del quadrato inverso, otteniamo la legge del biot savart come un analogo magetico della legge di coulomb con laggiunta del prodotto incrociato che si prende cura della perpendicolarità della direzione del campo e rigorosamente a condizione che è unipotesi di lavoro convalidata dalla sua utilità poiché un elemento corrente non può esistere isolato dal resto del suo circuito. Il mio consiglio – Ignora tutte le tentazioni di cadere in più matematica del minimo necessario, che ti porterà alla comprensione. Spero che questo aiuti .

Segui il seguente link. https://en.wikipedia.org/wiki/Jean-Baptiste_Biot e vai allintestazione “Lavoro”. Dice che la legge fu scoperta sperimentalmente nellanno 1820, cioè 45 anni prima della pubblicazione delle equazioni di Maxwell. La formulazione generale del La legge Biot-Savart è stata data da P. Laplace. Lespressione della legge Biot-Savart (lintegrazione) mostra che la pri nciple di sovrapposizione è già incluso in esso.Le equazioni di Maxwell furono sviluppate in seguito e furono progettate adeguatamente per comprendere le implicazioni della legge di Biot-Savart. Forse questo è il motivo per cui possiamo derivare le equazioni di Maxwell dalla legge di Biot-Savart e viceversa.

Vai a questo link https://en.wikipedia.org/wiki/Lorentz_force e vai alla sezione “Cronologia”. Dice che in lanno 1881, cioè 16 anni dopo la pubblicazione delle equazioni di Maxwell, Thomson derivò per la prima volta una forma della legge della forza di Lorentz dalle equazioni di Maxwell. Infine la forma moderna della legge della forza di Lorentz fu derivata da Lorentz nel 1892 dalle equazioni di Maxwell.

Quindi la sequenza storica è così:

Legge di Biot-Savart ==> Equazioni di Maxwell ==> Legge della forza di Lorentz.

Ma nelle aule siamo insegnate nella seguente sequenza:

Primo: la legge della forza di Lorentz, per introdurre il concetto che il campo magnetico esercita una forza su una carica in movimento.

Secondo: la legge di Biot-Savart, per introdurre il concetto che spostando cha I rges producono un campo magnetico.

Terzo: le equazioni di Maxwell; la generalizzazione di tutte le osservazioni sperimentali in elettromagnetismo.

Quindi la conclusione è:

(1) La legge di Biot-Savart è una legge osservata sperimentalmente. Questa legge include anche lidea quel principio di sovrapposizione è valido anche nella magnetostatica. Questa legge ha fornito le basi per la magnetostatica.

(2) Le equazioni di Maxwell sono state derivate in modo tale da comprendere i risultati della legge di Biot-Savart ( insieme ad altre osservazioni sperimentali di elettromagnetismo). E una generalizzazione teorica. Le equazioni di Maxwell sono più fondamentali di qualsiasi altra osservazione sperimentale perché gli esperimenti di solito vengono eseguiti in determinate circostanze e quindi non possono fornire uninformazione generalizzata.

(3) La legge della forza di Lorentz è stata derivata dalle equazioni di Maxwell ma può essere verificato direttamente sperimentalmente.

NOTA

“Osservazione e poi generalizzazione”: Penso che questo sia il modo in cui si sviluppa la fisica. Losservazione (esperimento) stabilisce sempre le basi. La generalizzazione comprende losservazione e ne estende lusabilità ad altre configurazioni, casi e circostanze immaginabili. Quindi è sempre possibile derivare la generalizzazione dallosservazione e viceversa [La legge di Biot-Savart può essere derivata dalle equazioni di Maxwell e le equazioni di Maxwell possono essere derivate dalla legge di Biot-Savart ] .

Qui si sottolinea che la legge di Biot-Savart è limportante osservazione che ha avviato il campo della magnetostatica. Si possono utilizzare le equazioni di Maxwell (Generalizzazione) e il concetto di potenziale vettoriale (una proprietà generale del campo vettoriale) per derivare la legge di Biot-Savart, ma ciò non significa che la legge sia solo un passaggio intermedio nello sviluppo della conoscenza riguardo alla magnetostatica. Che è possibile derivare le equazioni di Maxwell dalla legge di Biot-Savart e il concetto di potenziale vettoriale certifica solo che la generalizzazione nelle equazioni di Maxwell è corretta.

Commenti

• Ma lOP non chiedeva informazioni sullordine storico degli eventi.

Dobbiamo guardare la cronologia (la cronologia). La legge Biot-Savart è stata pubblicata prima della pubblicazione delle equazioni di Maxwell. Quindi è la legge di Gauss per i campi magnetici (la seconda equazione di Maxwell) che è derivata dalla legge di Biot-Savart e non viceversa. La derivazione della legge di Gauss per i campi magnetici (la seconda equazione di Maxwell ) dalla legge di Biot-Savart può essere letto qui Legge di Gauss per i campi magnetici

Il problema con la legge di Biot-Savart è che teoricamente è formulata in termini di elementi $ Idl $ e quindi integrati. Ma nella maggior parte dei libri di testo è formulato anche per addebiti in PUNTO, in termini di $ qv $ . Il problema qui è che quando una carica puntuale $ q $ si muove con velocità $ v $ il campo magnetico in gli spazi vicini CAMBIANO con il tempo, cioè abbiamo un $ \ frac {dB} {dt} $ , quindi si verificano effetti di induzione e la condizione magnetostatica viene violata. Al contrario, quando $ Idl $ è integrato lungo un filo continuo, il campo $ B $ è costante, (magnetostatico ). Le due situazioni sono molto diverse e per quanto ne so, il campo $ B $ non è mai stato misurato direttamente. La Forza su $ qv $ , sì, ma non il campo prodotto da $ qv $ .