La trasformazione di Bogoliubov non è una trasformazione unitaria, giusto?

Hai ragione, le trasformazioni di Bogoliubov non sono unitarie in generale. Per definizione,

le trasformazioni di Bogoliubov sono trasformazioni lineari di operatori di creazione / annichilazione che preservano le relazioni algebriche tra loro.

Le relazioni algebriche sono principalmente le relazioni di commutazione / anticommutazione che definiscono gli operatori bosonico / fermionico. In nessun punto della definizione abbiamo specificato che la trasformazione dovrebbe essere unitaria. In effetti, la trasformazione di Bogoliubov (nella sua forma più generica) è simplettica per bosoni e ortogonale per fermioni . In nessuno dei due casi la trasformazione di Bogoliubov è unitaria. La trasformazione di Bogoliubov dei bosoni corrisponde alla trasformazione canonica lineare degli oscillatori nella meccanica classica (perché i bosoni sono quanti di oscillatori), e sappiamo che le trasformazioni canoniche lineari sono simplettiche a causa della struttura simplettica dello spazio delle fasi classico.

Quindi, per essere più precisi, quali sono le restrizioni alle trasformazioni di Bogoliubov? Consideriamo il caso di $ n $ modalità particella singola di bosoni $ b_i $ o fermioni $ f_i $ (dove $ i = 1,2, \ cdots, n $ etichetta gli stati delle singole particelle, come gli autostati di quantità di moto). Sia $ b_i $ che $ f_i $ non sono operatori Hermitiani, il che non è abbastanza conveniente per un trattamento generale (perché non possiamo semplicemente trattare $ b_i $ e $ b_i ^ \ dagger $ come base indipendente poiché sono ancora correlati da la trasformazione particella-buco) Quindi scegliamo di riscrivere gli operatori come le seguenti combinazioni lineari (motivate dallidea di scomporre un numero complesso in due numeri reali come $ z = x + \ mathrm {i} y $): $$ \ inizio {split} b_i & = a_i + \ mathrm {i} a_ {n + i} \\ b_i ^ \ dagger & = a_i – \ mathrm {i} a_ {n + i} \ end {split} \ qquad \ begin {split} f_i & = c_i + \ mathrm {i} c_ {n + i} \\ f_i ^ \ dagger & = c_i- \ mathrm {i} c_ {n + i} \ end {split} $$ dove $ a_i = a_i ^ \ dagger $ e $ c_i = c_i ^ \ dagger $ (per $ i = 1,2, \ cdots, 2n $) sono operatori Hermitiani (analoghi ai numeri reali).Devono ereditare le relazioni di commutazione o anticommutazione dai bosoni “complessi” $ b_i $ e fermioni $ f_i $: $$ \ begin {split} [b_i, b_j ^ \ dagger] = \ delta_ {ij}, [b_i, b_j] = [b_i ^ \ dagger, b_j ^ \ dagger] = 0 & \ Rightarrow [a_i, a_j] = \ frac {1} {2} g_ {ij} ^ a \\ \ {f_i, f_j ^ \ dagger \} = \ delta_ {ij}, \ {f_i, f_j \} = \ {f_i ^ \ dagger, f_j ^ \ dagger \} = 0 & \ Rightarrow \ {c_i, c_j \} = \ frac {1} {2} g_ {ij} ^ c \ end {split} $$ dove $ g_ {ij} ^ a $ e $ g_ {ij} ^ c $ a volte sono chiamati metrica quantistica rispettivamente per bosoni e fermioni. In forma matriciale, sono dati da $$ g ^ a = \ mathrm {i} \ left [\ begin {matrix} 0 & \ mathbb {1} _ {n \ times n} \\ – \ mathbb {1} _ {n \ times n} & 0 \ end {matrix} \ right] \ qquad g ^ c = \ left [\ begin { matrix} \ mathbb {1} _ {n \ times n} & 0 \\ 0 & \ mathbb {1} _ {n \ times n} \ end {matrix} \ right], $$ con $ \ mathbb {1} _ {n \ times n} $ la $ n \ times n $ matrice di identità. Quindi preservare le relazioni algebriche tra gli operatori di creazione / annientamento significa preservare la metrica quantistica . Le trasformazioni lineari generali degli operatori $ a_i $ e $ c_i $ assumono la forma da $$ a_i \ a \ sum_ {j} W_ {ij} ^ a a_j \ qquad c_i \ a \ sum_ {j} W_ {ij} ^ c c_j, $$ dove gli elementi della matrice di trasformazione $ W_ {ij} ^ a, W_ {ij} ^ c \ in \ mathbb {R} $ devono essere reali, per garantire che gli operatori $ a_i $ e $ c_i $ rimangano Hermitian dopo la trasformazione. Quindi preservare la metrica quantistica è richiedere $$ W ^ ag ^ a W ^ {a \ intercal} = g ^ a \ qquad W ^ cg ^ c W ^ {c \ intercal} = g ^ c. $$ Quindi qualsiasi la trasformazione lineare reale che soddisfa le condizioni di cui sopra è una trasformazione di Bogoliubov nel senso più generale. Quindi, a seconda della proprietà della metrica quantistica, la trasformazione di Bogoliubov è simplettica o ortogonale. Per la metrica quantistica bosonica, $ g ^ a = -g ^ {a \ intercal} $ è antisimmetrica , quindi la trasformazione $ W ^ a $ è simplettica . Per la metrica quantistica fermionica, $ g ^ c = g ^ {c \ intercal} $ è simmetrica , quindi la trasformazione $ W ^ c $ è ortogonale .

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• Qualcuno può consigliare una risorsa per saperne di più su questo formalismo, cioè la scomposizione degli operatori di creazione / annichilazione come ” numeri complessi ” e la conservazione della metrica quantistica?

Lunità di una trasformazione meccanica quantistica non è determinata dal modo in cui mescola gli operatori di creazione e annichilazione. (Non importa che tipo di matrice — ortogonale, simplettica o unitaria — sia coinvolta nella miscelazione!) Piuttosto, una dovrebbe esaminare se la trasformazione è associata a un operatore unitario che agisce sullo spazio di Hilbert.

La trasformazione di Bogoliubov OP citata può essere rappresentata come segue ($ \ textbf {k} $ – la dipendenza è soppressa): $$ \ hat {a} \ \ \ rightarrow \ \ \ hat {a} ^ {\ prime} = \, \ cosh \ lambda \, \ hat {a} \, + \, \ sinh \ lambda \, \ hat {b } ^ {\ dagger}, \\ \ hat {b} ^ {\ dagger} \ \ \ rightarrow \ \ \ hat {b} ^ {\ prime \, \ dagger} = \, \ sinh \ lambda \, \ hat {a} \, + \, \ cosh \ lambda \, \ hat {b} ^ {\ dagger}, $$ dove $ \ lambda $ è un numero reale. Questa trasformazione è unitaria se e solo se esiste un operatore unitario $ U $ tale che $$ \ hat {a} ^ {\ prime} = U \ hat {a} U ^ {- 1}, \\ \ hat {b} ^ {\ prime \, \ dagger} = U \ hat {b} ^ {\ dagger} U ^ {- 1}. $$ In effetti, queste relazioni sono soddisfatte con la seguente scelta: $$ U = \ exp \ Big [\ lambda (\ hat {a} \ hat {b } – \ hat {b} ^ {\ dagger} \ hat {a} ^ {\ dagger}) \ Big], $$ quindi la trasformazione è unitaria.

Lasciami lavorare su questa parte dellequazione di matrice $$ H = \ sum _ {\ bf {k}} \ begin {pmatrix} a _ {\ bf {k}} ^ \ dagger & b _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k}} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 \ end {pmatrix} \ begin { pmatrix} a _ {\ bf {k}} \\ b _ {\ bf {k}} ^ \ dagger \ end {pmatrix} = \ sum _ {\ bf {k}} \ begin {pmatrix} \ alpha _ {\ bf {k }} ^ \ dagger & \ beta _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v_ {{k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k}} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix } \ alpha _ {\ bf {k}} \\ \ beta _ {\ bf {k}} ^ \ dagger \ end {pmatrix} $$ La parte importante è che la trasformazione dei campi può essere vista così come un trans formazione della matrice $$ \ Gamma ~ = ~ \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k}} \\\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 \ end {pmatrix} ~ \ rightarrow ~ \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k } & u_ {k} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} 1 & \ gamma _ {\ bf {k}} \ \\ gamma _ {\ bf {k}} & 1 _ {\ bf {k}} \ end {pmatrix} \ begin {pmatrix} u_k & v _ {{k}} \\ v_ {k} & u_ {k} \ end {pmatrix} ~ = ~ M ^ \ dagger \ Gamma M, $$ dove $ M ^ \ pugnale ~ = ~ M $. Il determinante di questo è $ det (M \ Gamma M) ~ = ~ det (M) det (\ Gamma) det (M) $ $ = ~ det (\ Gamma) $ Il determinante di $ M $ quindi fornisce $ u_k ^ 2 ~ – ~ v_k ^ 2 ~ = ~ 1 $. Questi possono quindi essere rappresentati da $ u_k ~ = ~ sinh (k) $ e $ v_k ~ = ~ cosh (k) $.

Ora valuta il commutatore $ [a_k, ~ a ^ \ dagger_k] $ $$ [a_k, ~ a ^ \ dagger_k] ~ = ~ u_k ^ 2 [\ alpha_k, ~ \ alpha_k ^ \ dagger] ~ + ~ v_k ^ 2 [\ beta ^ \ dagger_k, ~ \ beta_k] ~ = ~ u_k ^ 2 [\ alpha_k, ~ \ alpha_k ^ \ dagger] ~ – ~ v_k ^ 2 [\ beta_k, ~ \ beta ^ \ dagger_k]. $$ Per i comunicatori $ [\ alpha_k, ~ \ alpha_k ^ \ dagger] ~ = ~ [\ beta_k, ~ \ beta_k ^ \ dagger] ~ = ~ 1 $ e poi vediamo $ [a_k, ~ a_k ^ \ dagger] ~ = ~ 1 $. Lo stesso vale chiaramente per $ [b_k, ~ b_k ^ \ dagger] ~ = ~ 1 $ Questo significa che qualsiasi sistema con $ N \ hbar $ unità di azione è costante. Non vi è alcun cambiamento nel volume dello spazio delle fasi del sistema. questo significa che le trasformazioni di Bogoliubov sono effettivamente unitarie.

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• Quindi le trasformazioni unitarie generali ‘ s le definizioni sono più lunghe $ U ^ {\ dagger} = U ^ {- 1} $ che impariamo dal libro di testo? Non ‘ t capisco ‘ Ciò significa che qualsiasi sistema con Nℏ unità di azione è costante. Non vi è alcun cambiamento nel volume dello spazio delle fasi del sistema ‘, vorresti spiegarlo?
• A proposito, ci sono limitazioni alla trasformazione del sistema bosonico (hamiltoniano)?
• @ZJX Non ‘ capisco perché Lawrence ha detto che le trasformazioni bosoniche di Bogoliubov sono ” effettivamente unitario “. Penso che dovrebbero essere simplettici in generale. La restrizione deriva dal preservare la definizione degli operatori bosonici (tale che gli operatori bosonici rimangono bosonici sotto la trasformazione). Non ci sono restrizioni che provengono dal sistema bosonico (hamiltoniano). Fintanto che lHamiltoniano è Hermitiano, è un Hamiltoniano legittimo. Qualsiasi trasformazione simplettica applicata allHamiltoniano è una trasformazione legittima di Bogoliubov.

No, è unitaria trasformazione, ma solo se si considera lelettrone & dellhamiltoniano insieme.

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• Ma qui, il modello riguarda lo spin, ‘ non è il fermione, giusto?