Ho una trave continua attraverso una colonna centrale (non sono sicuro di averla disegnata correttamente o meno)
Il diagramma di spostamento e forza è il seguente:
Il primo diagramma è il momento flettente, il secondo la forza assiale, il terzo è lo spostamento.
Ora, qual è la condizione al contorno a $ R_A $, $ R_B $ e $ R_C $?
Da quello che posso dedurre, sembra che sia
$ w (0) = w (L) = w ( 2L) = 0 $ (corrisponde alla deflessione sui tre supporti)
$ M (0) = M (2L) = 0 $, o $ \ frac {d ^ 2w (0)} {dx ^ 2} = \ frac {d ^ 2w (2L)} {dx ^ 2} = 0 $ (corrisponde al momento).
Ma sospetto che mi manchino ancora alcune condizioni al contorno per ricavare il diagramma spostamento / forza completo per il continu ous beam. Ci sono condizioni al contorno che ho “perso?
Risposta
Bene, ti manca la compatibilità delle pendenze al supporto medio :
$$ \ frac {dw (L ^ -)} {dx} = \ frac {dw (L ^ +)} {dx} $$
Nel caso di carico della geometria simmetrica &, la pendenza della trave al supporto centrale sarà zero.
Poiché il momento flettente non ha derivata in x = L, lo farai è necessario derivare le deviazioni delle due metà separatamente e “unirle” con compatibilità.
Aggiornamento: derivazione della formula di deflessione del fascio:
Partendo dallequazione Eulero-Bernoulli del fascio (assumendo la costante EI), e prendendo x dallesterno appoggi verso il centro: $$ q = EI \ frac {dw ^ 4} {dx ^ 4} $$
Integrazione quattro volte:
$$ EI \ frac {d ^ 3 w} {dx ^ 3} = qx + A $$ $$ EI \ frac {d ^ 2 w} {dx ^ 2} = q \ frac {x ^ 2} {2} + Ax + B $$ $$ EI \ frac {dw} {dx} = q \ frac {x ^ 3} {6} + A \ frac {x ^ 2} {2} + Bx + C $$ $$ EI w = q \ frac {x ^ 4} {24} + A \ frac {x ^ 3} {6} + B \ frac {x ^ 2} {2} + Cx + D $$
Notando che il problema è simmetrico, le condizioni al contorno sono: $$ w (0) = w (L) = 0 $$ $$ \ frac {dw (L)} {dx} = 0 $$ $$ \ frac {d ^ 2 w (0)} {dx ^ 2} = 0 $$
Quindi possiamo immediatamente vedere che: $ B = D = 0 $
Ora abbiamo due equazioni con due incognite (A, C). Risolvendo troviamo: $$ A = – \ frac {3 L q} {8} $$ $$ C = \ frac {L ^ 3 q} {48} $$
Ora possiamo sostituire tutto le costanti nellequazione per w. Semplificando i risultati in:
$$ w = \ frac {qx} {48EI} (Lx) ^ 2 (L + 2 x) $$
Che è identico al risultato a cui si fa riferimento qui (nota che il loro sistema di coordinate ha x = 0 al centro). Nota anche come questo sia esattamente lo stesso risultato di un cantilever appoggiato . Ciò è dovuto alla simmetria, il che significa che la pendenza della trave al centro è zero (che è la stessa condizione al contorno di un supporto a sbalzo).
Puoi anche sostituire nellequazione del momento flettente:
$$ M = EI \ frac {d ^ 2 w} {dx ^ 2} = \ frac {1} {8} qx (4 x-3 L) $$
Commenti
- a) la compatibilità della condizione di pendenza è utile solo se si può modellare la trave continua come due travi a campata. Come è utile in questo caso? b) Perché dici che il momento flettente è discontinuo a $ L $? il diagramma del momento nella mia domanda mostra chiaramente che è continuo.
- Ti sarei grato se puoi elaborare un po e se puoi mostrare come le tue condizioni al contorno possono portare al diagramma di spostamento / momento flettente per il raggio continuo .
- @Graviton, a) aggiornerò la domanda con la derivazione. b) hai ragione, ero un po sciolto con la mia terminologia matematica. Quello che voglio dire è che il momento flettente non ha derivata in x = L.