Legge di Coulomb ': perché $ k = \ dfrac {1} {4 \ pi \ epsilon_0} $ [duplicate]

Definizione del simbolo $ k $ nella legge di Coulomb, $$ F = k \ frac {q_1q_2} {r ^ 2}, $$ essere $ k = 1/4 \ pi \ epsilon_0 $, è perfettamente consentito quando lo si intende semplicemente come un definizione di $ \ epsilon_0 $. La motivazione di questa definizione è che quando si calcolano le forze tra due piastre caricate in modo opposto dellarea $ A $ e si addebita $ Q $ a distanza $ d $ luna dallaltra, esse vengono fuori come $ F = \ frac {2 \ pi kQ ^ 2} {d} = \ frac {Q ^ 2} {2 \ epsilon_0 d} $, dove il fattore $ 4 \ pi $ proviene da unapplicazione giudiziosa di Gauss “s legge.

Quando lo sviluppi ulteriormente in una teoria della capacità, scopri che implica che la tensione tra le piastre è $ V = Q / C $, dove $ C = \ epsilon_0 A / d $. Inoltre, se si desidera inserire un dielettrico tra le piastre (come si fa spesso), la capacità cambia in $$ C = \ epsilon A / d $$ dove $ \ epsilon $ è nota come permittività elettrica del dielettrico . $ \ epsilon_0 $ è quindi naturalmente inteso come “la permettività dello spazio libero” (che ovviamente definisce semplicemente cosa intendiamo per permettività).

La domanda è allora, ovviamente, perché è derivato “unità, $ \ epsilon_0 $, trattata come più” fondamentale “delloriginale $ k $? La risposta è che non lo è poiché sono equivalenti, ma la permettività dello spazio libero è molto più facile da misurare (e certamente lo era tra la fine del XIX e linizio del XX secolo, quando la ricerca elettrica era molto orientata verso le tecnologie basate sui circuiti), in modo che ne risultasse il vincitore, e perché avere due simboli per quantità equivalenti?

Lunità del secondo è definita è la durata di un certo numero di periodi di radiazione emessa da una parte tipo icolare di transizione elettronica tra i livelli di energia in un isotipo di Cesio (vedere qui ).

Si presume che la luce viaggi a velocità costante $ c $ indipendente dal proprio sistema di riferimento, quindi ora che abbiamo fissato ununità di tempo, possiamo definire ununità di lunghezza: il metro è la distanza percorsa dalla luce in $ 1/299792548 \, \ mathrm {s} $.

Definiamo anche lunità SI della corrente (lAmpere) in modo che la permeabilità dello spazio libero assuma un valore desiderato in Unità SI ($ 4 \ pi \ times 10 ^ {- 7} $).

Possiamo quindi definire anche $$ \ varepsilon _0 = \ frac {1} {\ mu _0c ^ 2} $$ come $$ k = \ frac {1} {4 \ pi \ varepsilon _0}. $$

Ora, tieni presente che non devi aggiustare un sistema di unità per farlo (come ho fatto prima). Poiché le precedenti sono definizioni , valgono in qualsiasi sistema di unità. Tuttavia, per vedere che queste definizioni non finiscono per essere circolari, è utile vedere che possiamo definire $ \ mu _0 $ e $ c $ in termini di fenomeni puramente fisici. In altre parole, affinché le definizioni di cui sopra avessero un senso, dovevamo sapere che potevamo definire prima $ c $ e $ \ mu _0 $ indipendentemente da $ \ varepsilon _0 $ e $ k $. La precedente definizione di unità SI ti aiuta a capire che ciò può essere fatto.

Commenti

• Tutto sta cambiando con il nuovo sistema di SI. Mentre $ c $ è fisso, $ \ mu_0 $ e $ \ epsilon_0 $ non lo sono.

Se la domanda è perché “$ 4 \ pi $” nella costante di Coulomb (k = $ \ frac {1} {4 \ pi \ epsilon_ {0}} $), allora una domanda altrettanto valida potrebbe essere perché “4 $ \ pi $” nella permeabilità magnetica del vuoto, $ \ mu_ {0} = 4 \ pi \ times10 ^ {- 7} H / m $?

Forse un indizio può essere trovato nellequazione di Maxwell per la velocità dellonda elettromagnetica (luce) nel vuoto, $ c = \ frac {1} {\ sqrt {\ epsilon_ {0} \ mu_ {0}}} $.

Naturalmente, Maxwell ha derivato questa relazione molto più tardi di Coulomb.

Maxwell riferisce la permeabilità elettrica alla permeabilità magnetica nel vuoto, $ \ mu_ {0} = \ frac {1} {\ epsilon_ {0} c ^ {2}} $ a cui è dato un valore di $ \ mu_ {0} = 4 \ pi \ times10 ^ {- 7} H / m $ in unità SI.

Il “motivo” per “$ 4 \ pi $” che appare qui e nella costante di Coulomb (che ci crediate o no) così che le equazioni di Maxwell possono essere scritte senza alcun fattore $ 4 \ pi $ “!

Per capire questo, si consideri come i fenomeni elettrostatici sono espressi nella legge di Coulomb come” campo ” intensità a una distanza al quadrato “, rispetto alla legge (equivalente) di Gauss”, che descrive il “flusso attraverso una superficie chiusa che racchiude la carica”.

Il flusso totale è la densità del flusso moltiplicata per larea della superficie , che per una sfera di raggio $ r $ è dato da $ S = 4 \ pi r ^ {2} $, quindi il rapporto $ S / r ^ {2} $ = $ 4 \ pi $ è semplicemente il risultato della geometria di spazio e simmetria sferica.

Il sistema di unità SI (a differenza delle unità di Gauss) è detto “razionalizzato” perché consente lespressione delle equazioni di Maxwell senza i fattori $ 4 \ pi $. Per fare ciò, il fattore $ 4 \ pi $ è stato semplicemente “incorporato” nella definizione (unità SI) della costante universale per la permeabilità del vuoto, $ \ mu_ {0} = 4 \ pi \ times10 ^ {- 7} H / m $, da cui possiamo esprimere la costante di Coulomb come k = $ \ frac {1} {4 \ pi \ epsilon_ {0}} $.