Ok, quindi ho dei problemi reali a distinguere tra il concetto di stato stazionario e il percorso di crescita equilibrato in questo modello :
$$ Y = K ^ \ beta (AL) ^ {1- \ beta} $$
Mi è stato chiesto di ricavare i valori di stato stazionario per il capitale per lavoratore effettivo :
$$ k ^ * = \ left (\ frac {s} {n + g + \ delta} \ right) ^ {\ frac {1} {1- \ beta}} $$
Oltre al rapporto di stato stazionario tra capitale e prodotto (K / Y):
$$ \ frac {K ^ {SS}} {Y ^ {SS}} = \ frac {s} {n + g + \ delta} $$
Ho trovato entrambi validi, ma mi è stato anche chiesto di trovare il “valore di stato stazionario del prodotto marginale del capitale, dY / dK “. Ecco cosa ho fatto:
$$ Y = K ^ \ beta (AL) ^ {1- \ beta} $$ $$ MPK = \ frac {dY} {dK} = \ beta K ^ {\ beta -1} (AL) ^ {1- \ beta} $$
Sostituendo K nello stato stazionario (calcolato quando si calcola lo stato stazionario per il rapporto K / Y sopra):
$$ K ^ {SS} = AL \ left (\ frac {s} {n + g + \ delta} \ right) ^ {\ frac {1} {1- \ beta}} $$
$$ MPK ^ {SS} = \ beta (AL) ^ {1- \ beta} \ sinistra [AL \ sinistra (\ frac {s} {n + g + \ delta} \ destra) ^ {\ frac {1} {1- \ beta}} \ right] ^ {\ beta -1} $$
$$ MPK ^ {SS} = \ beta \ left (\ frac {s} {n + g + \ delta} \ right) ^ {\ frac {\ beta -1} {1- \ beta}} $$
Innanzitutto devo sapere se questo calcolo per il valore di stato stazionario di MPK è corretto?
In secondo luogo, mi è stato chiesto di tracciare i percorsi temporali del rapporto capitale-prodotto e del prodotto marginale del capitale, per uneconomia che converge al suo percorso di crescita equilibrato “dal basso”.
Ho problemi a capire esattamente quale sia il percorso di crescita equilibrato, rispetto allo stato stazionario, e come utilizzare i miei calcoli per capire come dovrebbero apparire questi grafici.
Ci scusiamo per il mammut post, qualsiasi aiuto è molto apprezzato! Grazie in anticipo.
Risposta
Questo è il momento in cui il tentativo di precisione crea confusione e incomprensioni.
In passato, i modelli di crescita non incorporavano il progresso tecnologico e portavano a un equilibrio di lungo periodo caratterizzato da magnitudini pro capite costanti . A livello verbale, il termine “stato stazionario” sembrava appropriato per descrivere una tale situazione.
Poi sono arrivati Romer e modelli di crescita endogena, che hanno anche spinto i modelli più vecchi a iniziare a includere come caratteristica di routine fattori di crescita esogeni (a parte la popolazione). E “allimprovviso”, i termini pro capite non erano costanti nellequilibrio di lungo periodo, ma crescevano a un ritmo costante . Inizialmente la letteratura descriveva tale situazione come “stato stazionario nei tassi di crescita”.
Quindi sembra che la professione abbia pensato qualcosa del tipo “non è accurato usare la parola” costante “qui perché le grandezze pro capite stanno crescendo. Quello che succede è che tutte le grandezze crescono a Tasso equilibrato (cioè alla stessa velocità, quindi i loro rapporti rimangono costanti). E poiché crescono, seguono un percorso … “Eureka !: il termine” è nato un percorso di crescita equilibrato.
… Con grande frustrazione degli studenti (almeno), che ora devono ricordare che, ad esempio, il “percorso della sella” è effettivamente un percorso nel diagramma delle fasi, ma il “percorso di crescita equilibrato” è solo un punto! (perché per disegnare effettivamente un diagramma di fase e ottenere un buon vecchio equilibrio di lungo periodo, esprimiamo le grandezze per lavoratore effettivo e queste grandezze hanno uno stato stazionario tradizionale. Ma continuiamo a chiamarlo “percorso di crescita equilibrato”, perché le magnitudini pro capite, che è ciò a cui siamo interessati, nel nostro approccio individualistico), continuano a crescere).
Quindi “percorso di crescita equilibrato” = “stato stazionario delle grandezze per unità di lavoro efficiente”, e immagino che tu possa capire il resto per il tuo diagramma di fase.
Risposta
Dopo la conversazione con lutente @denesp al commenti della mia risposta precedente, devo chiarire quanto segue: il solito dispositivo grafico che utilizziamo relativo al modello di crescita di Solow di base (vedi ad esempio qui , figura 2 ) non è un diagramma di fase, poiché ragionevolmente chiamiamo “diagrammi di fase” quelli che contengono loci a cambiamento zero, identificandone i punti di incrocio come punti fissi di una dinamica l sistema ed esaminare le loro proprietà di stabilità. E questo non è quello che facciamo per il modello Solow. Quindi è stato un uso imprudente della terminologia da parte mia.
Tuttavia possiamo disegnare un “diagramma semifase” per il modello di crescita di Solow, in $ (y, k) $ spazio. Comprendendo i simboli come “per unità di efficienza di lavoro” abbiamo il sistema di equazioni differenziali (mentre $ y = f (k) $)
$$ \ dot k = sy – (n + \ delta + g ) k $$
$$ \ dot y = f “_k (k) \ cdot \ dot k $$ Scrivendo lequazione del cambiamento zero come una disuguaglianza debole per mostrare anche le tendenze dinamiche, abbiamo
$$ \ dot k \ geq 0 \ implica y \ geq \ frac {n + \ delta + g} {s} k $$
$$ \ dot y \ geq 0 \ implica \ dot k \ geq 0 $$
Quindi questo sistema fornisce un singolo punto di cambio zero, una linea retta Nessun punto di incrocio per identificare un punto fisso Cosa possiamo fare?Disegna anche la funzione di produzione nel diagramma, poiché, in realtà, lo spazio $ (y, k) $ è unidimensionale, non unarea, ma una linea. Quindi otteniamo
le frecce verticali / orizzontali che indicano le tendenze dinamiche derivano propriamente dalle deboli disuguaglianze di cui sopra (sia $ y $ che $ k $ tendono a crescere quando sono al di sopra del luogo di variazione zero). Quindi, poiché $ y $ e $ k $ sono vincolati a spostarsi sulla linea tratteggiata (che è la funzione di produzione), ne consegue che si muovono verso il loro punto fisso, indipendentemente da dove iniziamo. Qui il grafico della funzione di produzione rappresenta essenzialmente il percorso verso lequilibrio di lungo periodo, poiché la convergenza è monotona.