Sto guardando un modello GARCH multivariato BEKK.
In un modello GARCH standard, generalmente ci aspettiamo,
$$ h_t = \ omega + \ alpha u_ {t-1} ^ 2 + \ beta \ sigma_ {t-1} ^ 2 $$
Il coefficiente alpha ( $ \ alpha $ ) deve essere notevolmente inferiore al beta ( $ \ beta $ ), vedi ad esempio Verbeeks “Guide to modern econometrics chapter on GARCH”, con circa 0.1 alpha e 0.8 beta.
Ora sto passando a unimpostazione multivariata, a un BEKK (1 ),
$$ \ left [\ begin {matrix} h_ {11, t} & h_ {12 , t} \\ h_ {21, t} & h_ {22, t} \\\ end {matrix} \ right] = \ left [\ begin {matrix} k_ { 11} & k_ {12} \\ k_ {21} & k_ {22} \\\ end {matrix} \ right] + \ left [\ begin {matrix} a_ {11} & a_ {12} \\ a_ {21} & a_ {22 } \\\ end {ma trix} \ right] \ left [\ begin {matrix} e_ {1, t-1} \\ e_ {2, t-1} \\\ end {matrix} \ right] \ left [\ begin {matrix} e_ {1, t-1} \\ e_ {2, t-1} \\\ end {matrix} \ right] ^ \ prime \ left [\ begin {matrix} a_ {11} & a_ {12} \\ a_ {21} & a_ {22} \\\ end {matrix} \ right] ^ \ prime $$
es un MV-ARCH (1),
Qualcuno conosce i parametri adatti per la matrice $ A_ {ij} $ , con un riferimento? E anche il BEKK (1,1) con il termine GARCH,
$$ H_t = C ^ \ ast {C ^ \ ast} ^ \ prime + A_ {11} \ varepsilon_ {t-1} \ varepsilon_ {t-1} ^ \ prime A_ {11} ^ \ prime + B_ {11} H_ {t-1} B_ {11} ^ \ prime $$
Ho bisogno di valori di parametro adeguati (come in quello che ci aspetteremmo) per A e B . Capisco che questo cambierà notevolmente tra i set di dati e così via. Ma in generale qualsiasi valore che possiamo aspettarci?
Risposta
Sfortunatamente, ci sono nessun controllo diretto su $ a_ {ij} $ “se $ b_ {ij} $ ” I coefficienti di s nel caso BEKK, come $ \ alpha + \ beta < 1 $ , assicurano la stazionarietà e una debole dipendenza temporale nel GARCH (1,1) caso. Le condizioni sono un po più complicate nel caso BEKK.
Il processo è stazionario e debolmente dipendente dal tempo (nel senso che è “una catena di Markov ricorrente di Harris geometricamente ergodica), se tutti gli autovalori del $ k ^ 2 \ times k ^ 2 $ matrix $ A_ {11} \ otimes A_ {11} + B_ {11} \ otimes B_ {11} $ sono minore di 1 e $ C ^ {\ ast} C ^ {\ ast \ prime} $ è definito positivo, ma sarà sempre così con $ C ^ {\ ast} C ^ {\ ast \ prime} $ , poiché è definito positivo per costruzione. Il $ \ otimes $ denota il prodotto Kronecker .
Teorema 2 in Comte e Lieberman (2003) afferma che questa condizione garantisce che lo stimatore di massima verosimiglianza sia coerente e, se assumiamo inoltre che il processo abbia un momento di sesto ordine finito, è $ E \ left \ | X ^ 6 \ right \ | < \ infty $ , quindi il Teorema 3 in Hafner e Preminger (2009) stabilisce la normalità asintotica di il MLE.
Per quanto ne so, la letteratura non fornisce limitazioni dirette ai parametri, il che garantisce momenti finiti di sesto ordine del processo BEKK. Il teorema C.1 nellappendice di Pedersen e Rahbek (2014) fornisce condizioni sufficienti per la versione ARCH del processo BEKK gaussiano ( $ B_ {11} = 0 $ ), per avere $ E \ left \ | X ^ 6 \ right \ | < \ infty $ . Questa condizione è che tutti gli autovalori di $ A_ {11} ⊗ A_ {11} $ debbano essere inferiori a $ 15 ^ {- 1/3} \ circa 0,4055 $ .
- F. Comte e O. Lieberman. Teoria asintotica per processi GARCH multivariati. Journal of Multivariate Analysis, 84 (1): 61-84, 2003.
- C. M. Hafner e A. Preminger. Sulla teoria asintotica per modelli GARCH multivariati. Journal of Multivariate Analysis, 100 (9): 2044 – 2054, 2009.
- R. S. Pedersen e A. Rahbek. Targeting della varianza multivariata nel modello bekk -garch. The Econometrics Journal, 17 (1): 24–55, 2014.
Commenti
- Non sono sicuro che ciò si applichi alla particolare forma di BEKK studiata qui, ma McAleer " Ciò che non ti hanno detto sulla (non) esistenza algebrica, sulla (ir-) regolarità matematica e sulle proprietà (non) asintotiche del condizionale dinamico BEKK completo Il modello di covarianza " (2019) mostra che BEKK potrebbe anche non esistere se non in condizioni restrittive, tirando il tappeto da meno di 4500 documenti che citano BEKK.
- @Duffau unottima risposta ma hai qualche idea su quale dovrebbe essere il divario tra A e B?
- Grazie @FrancisOrigi! Quindi ricorda che A e B sono matrici quindi non esiste una nozione chiara di " gap ". Nei sistemi dinamici in cui il processo è definito da matrici, spesso una sorta di autovalore determina la stabilità del sistema. Come per il BEKK la stabilità (stazionarietà e debole dipendenza) è governata dagli autovalori delle matrici trasformate sopra descritte. Se vuoi saperne di più, esaminerei le autoregressioni vettoriali lineari, sono il tipo più semplice con dinamiche multivariate. Sono lequivalente dei modelli AR nel mondo univariato.