Perché il campo elettrico è zero nel punto in cui si intersecano le superfici equipotenziali?

Prima di tutto, puliamo l aria con un semplice esempio che mostri il comportamento desiderato (e che è essenzialmente isomorfo per la maggior parte dei casi non banali). Considera in particolare, la seguente affermazione:

Il potenziale $ V (x, y, z) = V_0 \, xy $ è un potenziale elettrostatico perfettamente valido, e può essere visto molto naturalmente come avente due superfici equipotenziali (il piano $ yz $ e il piano $ xz $) che si intersecano lungo una linea.

Quellesempio può essere stridente per la solita intuizione che le superfici equipotenziali, come le linee di campo, non si incrociano mai, ma risulta perfettamente – ed è coerente con laffermazione del tuo professore che il campo elettrico, $$ \ mathbf E = – \ nabla V = -V_0 (y \, \ hat {\ mathbf x} + x \, \ hat {\ mathbf y}), $$ van ishes allintersezione $ x = y = 0 $.

(Per coloro che vorrebbero estendere un po di più linviluppo: questo naturalmente si generalizza allintersezione di qualsiasi numero $ n $ di superfici equipotenziali lungo un linea, semplicemente cambiando al $ n $ potenziale polare $ V (x, y, z) = V_0 \, \ mathrm {Re} \ mathopen {} \ left [\ left (x + iy \ right) ^ n \ right] \ mathclose {} $.)

Allora, cosa sta succedendo, o come forniamo un po di carne matematica allaffermazione in questione?

Bene, iniziamo definendo le superfici equipotenziali: una superficie $ S: (D \ subseteq \ mathbb R ^ 2) \ to \ mathbb R ^ 3 $ è un equipotenziale del potenziale elettrostatico $ V : da \ mathbb R ^ 3 \ a \ mathbb R $ iff $ V (S (u, v)) = V_0 $ è costante per tutti $ (u, v) \ in D $. Inoltre, sappiamo che in qualsiasi punto $ \ mathbf r = S (u, v) $ sulla superficie, il campo elettrico $ \ mathbf E = – \ nabla V $ ha un prodotto interno zero con qualsiasi vettore che giace allinterno del piano tangente $ TS_ \ mathbf r $ al superficie a $ \ mathbf r $, come conseguenza del prendere le curve $ \ gamma: (a, b) \ in D $ e differenziare la relazione di costanza $ V (S (\ gamma (t))) \ equiv V_0 $ rispetto al parametro $ t $, dando $$ – \ dot \ gamma (t) \ cdot \ nabla V = \ dot \ gamma (t) \ cdot \ mathbf E = 0 $$ per tutti i vettori $ \ dot \ gamma \ in TS_ \ mathbf r $. Poiché quel piano è bidimensionale e lo spazio è tridimensionale, deduciamo che esiste una direzione normale unica $ \ hat {\ mathbf n} $ verso la superficie e che $ \ mathbf E $ deve essere parallela a quella normale (o, possibilmente, zero), ma il risultato principale è che la componente $ \ mathbf E $ lungo qualsiasi direzione allinterno del piano tangente deve svanire.

OK, quindi ora alziamo la posta e consideriamo due diverse superfici $ S_i : D_i \ to \ mathbb R ^ 3 $, $ i = 1,2 $, che si intersecano ad un certo punto $ \ mathbf r_0 $, e stabiliamo anche che entrambe le superfici siano equipotenziali di $ V $.

Fin dallinizio, possiamo dedurre che il potenziale in tutti i punti su entrambe le superfici deve essere uguale alla stessa costante, perché $ V = V (\ mathbf r) $ è un valore (a valore singolo ) funzione. Se è uguale a $ V (\ mathbf r_0) = V_1 $ per $ \ mathbf r_0 \ in S_1 $, allora deve essere uguale a $ V_1 $ in $ S_1 $ – ma $ \ mathbf r_0 $ è anche in $ S_2 $, quindi $ V $ deve anche essere uguale a $ V_1 $ in $ S_2 $. Questo è probabilmente ciò di cui parlava il tuo professore nellaffermazione che hai segnalato come

Ha anche affermato che due superfici equipotenziali non possono intersecarsi in quanto ciò darebbe due potenziali diversi allo stesso punto,

ma molto probabilmente più vicino a

due superfici equipotenziali con un potenziale diverso non possono intersecarsi in quanto ciò darebbe due potenziali diversi nello stesso punto.

Questa è la parte facile.Diciamo ora qualcosa di non banale: che dire del campo elettrico allintersezione?

Iniziamo prima con il caso facile, però, e supponiamo che gli equipotenziali abbiano una giusta intersezione di dimensione uno lungo un curva, il che implica che, in qualsiasi punto $ \ mathbf r $ lungo lintersezione, i piani tangenti alle due superfici si intersecheranno su una linea, e ciascuno di essi avrà una direzione separata, linearmente indipendente che non appartiene allaltra piano.

Questo ci permette quindi di introdurre gli strumenti che abbiamo sviluppato in precedenza: sappiamo che $ \ mathbf E $ deve avere un prodotto interno che svanisce con qualsiasi vettore che si trovi allinterno di uno dei due piani tangenti, tranne che ora hanno tre vettori linearmente indipendenti $ \ mathbf e_1, \ mathbf e_2 $ e $ \ mathbf e_3 $ su cui svanire, uno lungo lintersezione e un altro vettore indipendente lungo ciascun piano. Lunico modo in cui qualsiasi vettore $ \ mathbf v \ mathbb R ^ 3 $ può soddisfare $ \ mathbf v \ cdot \ mathbf e_i = 0, $ per $ \ mathbf e_i linearmente indipendente, $ è per $ \ mathbf v = 0 $ . È da qui che proviene laffermazione del tuo professore.

Infine, affrontiamo il caso leggermente più patologico che hai menzionato alla fine della tua domanda:

Perché non possono” esserci due diverse superfici equipotenziali con lo stesso potenziale che […] si toccano?

Questa non è “una brutta domanda, e la risposta è essenzialmente che può accadere, ma le circostanze in cui accade sono così patologiche che siamo” per lo più pronti a buttare via quel bambino con il acqua del bagno. Quando diciamo “due superfici si intersecano”, normalmente intendiamo che hanno unintersezione di dimensione uno lungo una curva; se vogliamo consentire alle superfici di toccarsi, o hanno un comportamento patologico simile, allora noteremo esplicitamente che . (I matematici sono un po più attenti al loro linguaggio, ma anche in questo caso i fisici fanno cose più interessanti e non puoi perdere tempo a giocherellare con piccoli dettagli.)

Comunque, se vuoi un potenziale con due equipotenziali che tocco in un unico punto, lesempio più chiaro a cui riesco a pensare è $$ V (x, y, z) = z ^ 2- (x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2, $$ dove gli equipotenziali $ V (\ mathbf r) = 0 $ sono due paraboloidi circolari che si toccano al loro apice. non è una soluzione dellequazione di Laplace, il che significa che non è un potenziale ragionevole nello spazio libero, ma tu puoi semplicemente impostare la densità di carica $ \ rho \ propto \ nabla ^ 2 V $, e otterrai una distribuzione ragionevole. Se vuoi risparmiare su questo, è meglio scegliere $$ V (x, y, z) = z ^ 2- (x ^ 2 + y ^ 2) z, $$ per il quale la densità di carica $ \ rho \ propto \ nabla ^ 2 V = 2-4z $ è estremamente ragionevole e sostituisce uno dei paraboloidi con il piano $ z = 0 $.

Ora, per entrambi questi esempi, tu hanno un polinomio di ordine piuttosto elevato come potenziale, e il campo elettrico svanisce nel punto di intersezione degli equipotenziali. Se vuoi avere qualcosa con equipotenziali commoventi e un campo elettrico diverso da zero, il più vicino che mi viene in mente in modo pulito è combinare i due esempi sopra, dando tre equipotenziali (i due paraboloidi e il $ xy $ aereo) che si incontrano in un punto, $$ V (x, y, z) = \ left (z ^ 2- (x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2 \ right) z, $$ con a $ V (0,0, z ) = z ^ 3 $ dipendenza lungo lasse $ z $, quindi per scomporla prendendo una radice cubica, fornendo $$ V (x, y, z) = \ left [\ left (z ^ 2- (x ^ 2 + y ^ 2) ^ 2 \ right) z \ right] ^ {1/3}, $$ che ha gli stessi equipotenziali di contatto come sopra ma ora ha un campo elettrico costante $ \ nabla V = (0,0 , 1) $ su tutti i punti $ (0,0, z) $ con $ z \ neq 0 $. Sfortunatamente, tuttavia, puoi “t veramente concludere che il campo elettrico è diverso da zero, perché i limiti a $ \ mathbf r \ to0 $ lungo lasse $ z $ e lungo il piano $ xy $ non “t pendolare – e, in effetti, $ \ nabla V $ diverge ovunque sullaereo $ xy $.

Disegnerò qui il paesaggio equipotenziale quando taglio lungo il piano $ xz $, per dare unidea del tipo di struttura patologica a cui sarai spinto considerando questo tipo di casi:

^{Origine: importazione [“ http://halirutan.github.io/Mathematica-SE-Tools/decode.m “] [“ http://i.stack.imgur.com/0snLs.png “]}

Le pareti affilate degli equipotenziali nella vista 3D di $ V (x, 0, z) $ sono chiari indicatori del fatto che il campo elettrico è infinito ovunque agli equipotenziali $ V = 0 $, con la sola eccezione dellorigine quando avvicinato dallasse $ z $.

Comunque, questo è il tipo di prezzo che devi pagare per avere E equipotenziali che si toccano senza che richiedano un campo elettrico nullo nel punto di contatto per mantenere tutto bello e scorrevole. In generale, però, devi semplicemente eliminare quei casi per decreto richiedendo un incrocio regolare.

Il campo elettrico è definito come gradiente (negativo) del potenziale elettrostatico.Non può quindi esserci campo elettrico lungo la linea / superficie definita da un equipotenziale.

Ciò significa che lunico campo elettrico ammesso in un punto di un equipotenziale deve essere perpendicolare al superficie equipotenziale, altrimenti avrebbe una componente diversa da zero lungo la superficie.

Se ci sono due differenti equipotenziali intersecanti, allora lunico campo elettrico valido è zero, poiché ogni campo diverso da zero avrebbe un -zero componente lungo almeno uno degli equipotenziali.

Uneccezione sembrerebbe essere dove le superfici equipotenziali sono parallele alla loro intersezione.

Commenti

• I ‘ ho provato, e finora non è riuscito, a produrre un potenziale con equipotenziali che si toccano in un unico punto con normali parallele e che tuttavia produce un elettrico diverso da zero campo lì. Riesci a vedere attraverso quello?
• @ Rob lo gratta, ho trovato un esempio, ma ‘ non è esattamente la funzione più semplice che io ‘ mai visto. Sospetto che si possa dimostrare che il contatto equipotenziale con un campo elettrico diverso da zero richiede quel tipo di comportamento patologico, ma non ‘ vedo bene come ‘ d dimostrarlo (o, in effetti, perché ‘ ti interessa tanto da dedicare molto tempo a provare a farlo).

Due superfici equipotenziali non possono intersecarsi. La direzione del campo elettrico in qualsiasi punto su una superficie equipotenziale è perpendicolare alla superficie in quel punto. Se due superfici equipoenziali dovessero intersecarsi, il campo elettrico nei punti di intersezione sarebbe perpendicolare sia alla prima superficie che alla seconda superficie in quei punti … in altre parole, se due superfici equipotenziali potessero intersecarsi, avresti il campo elettrico puntato in due direzioni in ogni punto di intersezione … una che punta perpendicolare alla prima superficie, laltra che punta perpendicolare alla seconda superficie. Questo è impossibile.

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• A meno che il campo non sia zero nel punto di intersezione?
• Il potenziale $ V ( x, y, z) = V_0 xy $ è un potenziale elettrostatico perfettamente valido e può essere visto molto naturalmente come avente due superfici equipotenziali (il piano $ yz $ e il piano $ xz $) che si intersecano lungo una linea.
• Molto interessante … ‘ dovrò tirare fuori il libro di Griffith ‘ durante il fine settimana e un po di revisione … Ho ‘ t studiato elettrostatica da quando mi sono laureato a maggio.

Perché se dovessero intersecarsi, la direzione del campo elettrico è ambigua, quindi non è possibile.

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• Non ambiguo ? Perché è un problema?
• Sì, è ambiguo non non ambiguo come dice la tua risposta.

Ha anche affermato che due superfici equipotenziali non possono intersecarsi in quanto ciò darebbe due potenziali diversi allo stesso punto.

Considera il campo elettrico e le superfici equipotenziali di un dipolo elettrico

Credito immagine

Nessuna delle superfici equipotenziali si interseca. Inoltre, la densità delle superfici è maggiore lungo la linea tra e attraverso le due cariche.

Ora, considera quelle superfici equipotenziali nel limite di un dipolo elettrico ideale.

Credito immagine

Per un momento di dipolo costante, la carica (più / meno) deve aumentare al diminuire della distanza di separazione, la densità delle superfici equipotenziali lungo la linea che attraversa il la superficie deve divergere nel limite; sembra che tutte le superfici equipotenziali debbano intersecarsi nella posizione del dipolo ideale e il campo elettrico sia singolare lì.

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• Capisco il tuo punto, poiché le sfere non sono equipotenziali, non è ovvio che ci siano infinite superfici equipotenziali che passano per il punto di contatto … non lo so ….
• @ValterMoretti, OK, quindi due sfere non conduttrici, ciascuna con densità di carica fissa e uniforme di segno opposto e raggi identici e posizionate simmetricamente sopra e sotto il piano xy lungo lasse z ma non a contatto con il piano. Questo puzza come un problema di tipo metodo di immagini e se è così, il piano x-y è la superficie a potenziale zero?Quindi le superfici equipotenziali positive (negative) circondano la sfera caricata positivamente (negativamente) e, quando le sfere vengono avvicinate, quelle superfici vengono ‘ schiacciate ‘ insieme lungo la linea attraverso il centro delle sfere che finalmente si toccano?
• Bene, ora penso che le superfici equipotenziali diverse dal piano di separazione entrino nelle sfere (non conduttive) e il mio esempio non lo fa lavoro: quando le sfere si toccano cè una sola sicurezza equipotenziale attraverso il punto di contatto. Quindi il mio esempio non funziona.
• @ValterMoretti, mi stavo solo chiedendo se gli equipotenziali potessero entrare nelle sfere e ho iniziato a guardare attraverso Jackson mentre il tuo commento è arrivato.
• Sì il le superfici equipotenziali devono entrare nelle sfere: prendere un punto qualsiasi allinterno della sfera sinistra, lì il campo elettrico dovuto alla sfera stessa svanisce. Il campo elettrico allinterno del campo della sfera sinistra è quindi completamente dovuto alla sfera destra ed è uguale a quello di una carica puntiforme centrata allesterno della sfera sinistra. È evidente che le superfici equipotenziali entrano in questo modo nelle sfere di sinistra. Stavo pensando qui a sfere caricate superficialmente! Se la carica è nel volume? Non lo so