Quella che segue è una domanda dellintervista di Mark Joshi et al. Quant Job Interview.
Domanda: Perché il moto browniano è utile in finanza?
Vengo da un background di dottorato in matematica pura (analisi funzionale, in particolare Teoria spaziale di Banach). Mi piacerebbe avventurarmi nel settore della finanza quantistica dopo il mio dottorato di ricerca.
Quindi, non ho idea di come rispondere alla domanda sopra in quanto sembra che la maggior parte dei libri di calcolo stocastico implicherebbe parlare del moto browniano ma non dare mai motivazioni.
Commenti
- Salve: uno dei motivi è che ' è una martingala e ad alcuni è consentito visualizzare i prezzi del registro come una martingala. Pertanto, BW può essere un processo ragionevole da utilizzare per modellare le modifiche nei prezzi di registro. In effetti, lintera struttura delle scholes nere si basa su questo assunto.
- moto browniano standard, o moto browniano geometrico?
- Immagino di poter rispondere a entrambi?
- Lutilità principale di BM e Ito Calculus rispetto a cose come passeggiate aleatorie discrete è la capacità di coprire continuamente un portafoglio di derivati in un tale universo.
Risposta
Il moto browniano è semplicemente il limite di una passeggiata casuale in scala (tempo discreto) e quindi un candidato naturale da utilizzare. È molto intuitivo e probabilmente uno dei processi stocastici continui nel tempo più semplici e meglio compresi. Inoltre, non dimenticare che ottieni molti più processi stocastici come funzioni di un moto browniano (cambiato nel tempo). In molti libri sul calcolo stocastico, definisci prima lintegrale Ito rispetto a un moto browniano prima di estenderlo al generale semimartingale. Supponendo che i rendimenti logaritmici seguano un moto browniano (con deriva), puoi facilmente derivare soluzioni in forma chiusa per i prezzi delle opzioni. Il moto browniano è inoltre markoviano e una martingala che rappresentano proprietà chiave nella finanza.
Il moto browniano fu introdotto per la prima volta da Bachelier nel 1900. Samuelson utilizzò quindi lesponenziale di un moto browniano (moto browniano geometrico) per evitare la negatività per un modello di prezzo delle azioni. Sulla base di questo lavoro, Black e Scholes trovarono la loro famosa formula nel 1973.
Commenti
- Questa sembra la risposta che vogliono che tu dia in unintervista. Un avvertimento dato che hai un background matematico puro. Tutti questi modelli fare ipotesi che varie quantità ar e Gaussiana normalmente distribuita. I dati della vita reale non lo sono. Se i modelli sono ancora utili o meno è esattamente la domanda per cui dovrebbero assumere un dottorato in matematica pura.
- Ma perché una passeggiata casuale è un candidato naturale per la modellazione di risorse? La risposta è una domanda economica piuttosto che una domanda matematica (se i rendimenti potessero essere " previsti ", allora il trading avverrebbe in modo tale che i rendimenti sarebbero non essere più " prevedibile ")
Risposta
Gli oggetti fisici si muovono secondo semplici curve morbide che possono essere rappresentate da polinomi di ordine basso: una linea retta, una parabola, unellisse, ecc.
I prezzi dei mercati finanziari si muovono in un modo completamente diverso, come si può vedere guardando qualsiasi grafico dei prezzi delle azioni, dei tassi di interesse ecc. in un giornale: ci sono fluttuazioni costanti, irregolari, a volte in una direzione, a volte nellaltra, a volte piccole e talvolta grandi, che conferiscono alla curva un aspetto ruvido e casuale. Il Brownian Motion è un modello adatto per questo tipo di curva.