Stavo facendo questa domanda sul calcolo del campo elettrico in un certo punto in una sfera (lunghezza $ r $ dal centro), dove la densità di carica è dato da unequazione. Quando ho verificato la soluzione a questa domanda, ho detto di calcolare la carica elementare $ dQ $ per il volume elementare della sfera $ dV $, usando lequazione della densità di carica. Dice che il volume tra due gusci concentrici allinterno della sfera, alle distanze $ r $ e $ r + dr $ è
$$ dV = \ frac {4 \ pi (r + dr) ^ 3} {3} – \ frac {4 \ pi (r) ^ 3} {3} = \ frac {4 \ pi (3r ^ 2dr + 3rdr ^ 2 + dr ^ 3))} {3}. $$
Ora, perché è uguale a $ 4 \ pi r ^ 2dr $?
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- Leuristica impiegata in questo calcolo è che , poiché $ dr $ è molto piccolo, quadrare o cubare lo rende molto più piccolo. Quindi i termini $ 3rdr ^ 2 $ e $ dr ^ 3 $ sono trascurabili e possono essere eliminati.
- Questo non ha assolutamente nulla a che fare con la fisica! Chiedi a un sito di matematica q & un sito web. In realtà @sourisse ti ha dato la risposta corretta.
- Penso che questo sia abbastanza rilevante per la fisica in realtà, è unapprossimazione / metodo / strumento che viene utilizzato molto in fisica, ad es. elettrostatica, gravitazione, stato solido, ecc. ecc.
- A proposito, puoi anche pensare a $ 4 \ pi r ^ 2 dr $ come il volume di un guscio sferico con raggio $ r $ e spessore $ dr $ – solo superficie area moltiplicata per lo spessore
- @FraSchelle Penso che se lo chiedessi su math.stackexchange, verresti indirizzato qui …
Risposta
Il commento di Sourisse risponde alla tua domanda, ma solo per la cronaca lo espanderò qui come risposta Wiki. Nota che questa è la risposta di un fisico: qualsiasi matematico presente farebbe bene a distogliere lo sguardo ora.
Ricorda che quando diciamo che lelemento volume è:
$$ dV = 4 \ pi r ^ 2 dr \ tag {1} $$
Stiamo parlando del limite in cui $ dr \ rightarrow 0 $. Se $ dr $ è estremamente piccolo, $ dr ^ 2 $ è estremamente estremamente piccolo e $ dr ^ 3 $ è estremamente estremamente estremamente piccolo. Quindi nel limite di $ dr \ rightarrow 0 $ possiamo semplicemente ignorare le potenze superiori e lintera equazione si trasforma in equazione (1).
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- Signore questa è la stessa cosa che ci è stata insegnata, ma cè un modo per usare i termini di $ (dr) ^ 2 $ o più potenza nel calcolo o nellintegrazione? Grazie mille!
Risposta
$ v = \ dfrac {4} { 3} \ pi r ^ 3 $
Differenziazione rispetto a $ r $
$ \ dfrac {dv} {dr} = 4 \ pi r ^ 2 $
$ dv = 4 \ pi r ^ 2 dr $
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- proprio su! questo è il tipo di elemento entary " trucco " troppo spesso dimenticato. Peccato che tu non possa ' t ottenere il fattore $ \ sin \ theta \, d \ theta \, d \ phi $ da $ 4 \ pi $ in questo modo.