Considera la seguente macchina Atwood con una puleggia ideale e una corda ideale
Secondo il mio libro di testo, la tensione sul morsetto che tiene la macchina al muro è pari a $ 2T $. Non capisco il motivo. La tensione in $ T $ nella stringa è uguale in grandezza a $ m_1g + m_1a = m_2g – m_2a $, supponendo che $ m_1 $ stia accelerando verso lalto.
Inoltre , laccelerazione delle masse in una macchina atwood è data da
$$ a = \ frac {(m_2 – m_1) g} {m_1 + m_2} $$
sostituendolo in , otteniamo la tensione uguale a
$$ T = m_1g + m_1 \ frac {(m_2 – m_1) g} {m_1 + m_2} = m_1g \ left (1 + \ frac {m_2 – m_1} {m_2 + m_1} \ right) = \ frac {2m_2m_1g} {m_1 + m_2} $$
Quindi, secondo il mio libro di testo, la tensione sul morsetto della puleggia dovrebbe essere:
$$ 2T = \ frac {4m_1m_2g} {m_1 + m_2} $$
Ma non sono tutte queste forze forze interne? Se consideriamo lintera macchina atwood come sistema (esclusa la pinza), le uniche forze che agiscono su di essa sono la forza di gravità, $ (m_1 + m_2) g $ e la tensione nella pinza $ T_c $. Dal momento che il sistema è a riposo
$$ T_c = (m_1 + m_2) g $$
Ho ragione o cè un difetto nel mio argomento?
Commenti
- Hai trovato $ T $ e il libro di testo ha la stessa equazione moltiplicata per un fattore 2. Non ci sono problemi qui.
- Suggerimento: il sistema non è a riposo.
- La risposta di Nick ' è completa ma mi è piaciuta la tua domanda perché mostra lo sforzo per comprendere il PRINCIPIO sotto i calcoli. Quindi è ' importante a mio parere capire perché il sistema non è ' a riposo.
- Vero, ogni calcolo non dovrebbe solo verificare matematicamente, ma anche linterpretazione fisica è una parte molto molto importante! Quindi, sul punto della domanda, ' direi buon lavoro e continuate così!
- Se aiuta, potete dimostrare che il centro di massa delle due masse $ m_ {1} $ e $ m_ {2} $ sta accelerando verso il basso, e sebbene sembri che il supporto stia tenendo ferma la ruota, in realtà sta permettendo al sistema ruota / massa di accelerare verso il basso per questo motivo.
Risposta
Il risultato vale quando le due masse sono uguali, in questo caso $ a = 0 $ e avresti:
$ T = m_1 g = m_2 g $.
Oppure:
$ 2T = 2 m_1 g = 2 m_2g = (m_1 + m_2) g $.
Nel caso in cui le masse non siano le stesse, allora entrambe le masse stanno accelerando, il che a sua volta si applica produce una forza inferiore sulla puleggia (e sulla pinza).
Questo può essere facilmente verificato con la tua formula della tensione!
$ T = \ frac {2m_1m_2g} {m_1 + m_2}, $
Se io dovevo definire la massa totale come: $ M = m_1 + m_2 $, quindi potrei esprimere $ T $ come:
$ T = \ frac {2m_1 (M-m_1) g} {M} = \ frac {2g} {M} (m_1 (M-m_1)). $
Puoi controllare se “d tracciare $ T $ in funzione di $ m_1 $, che raggiunge un massimo in $ m_1 = M / 2 $, il che significa che la tensione diventa massima se le due masse sono uguali, la tensione diventa quindi:
$ T = \ frac {Mg} {2} = \ frac {(m_1 + m_2) g} {2} $,
o come stavi pensando:
$ 2T = (m_1 + m_2) g $
Per completezza il grafico della tensione in funzione della massa $ m_1 $ in termini di quantità adimensionali.
Su questo grafico puoi facilmente vedere che se $ m_1 = 0 \ Rightarrow m_2 = M $ o $ m_1 = M \ Rightarrow m_2 = 0 $, non ci sarebbe tensione poiché una delle due masse sarebbe libera caduta. Nei casi intermedi ci sarebbe tensione poiché cè un “” tiro “” su entrambi i lati della corda, più le masse $ m_1 $ e $ m_2 $ sono uguali, meno movimento cè e maggiore è la trazione la stringa.
Commenti
- Quindi, se il mio argomento non era corretto, può solo significare che il sistema non è a riposo. Ma come puoi dire che il sistema non è a riposo?
- Nel caso precedente abbiamo una carrucola senza attrito, con una corda priva di massa. Lunico modo in cui il sistema può essere a riposo è quando le due masse sono uguali (nel tuo calcolo che ' è lunico caso in cui laccelerazione è uguale a zero). In questo caso, entrambe le masse tirano con una forza uguale a entrambe le estremità della corda. Nota che questo ' non implica necessariamente che il sistema sia a riposo, può anche muoversi con una velocità costante!
- @Gerard Se dovessi aggiungere massa a il pungiglione e / o lattrito alla puleggia, quindi potrebbero esserci altre situazioni in cui il sistema è / diventa a riposo.
- ' non è vero rimane nello stesso posto.Il suo centro di massa sta accelerando perché anche se m_1 sta andando verso lalto e m_2 verso il basso le masse sono diverse, quindi hanno un " peso " diverso nel movimento globale. Quindi se m_2 > m_1 e m_2 sta accelerando verso il basso, allora il centro di massa sta andando verso il basso.
- @Gerard: Giusto, nota che per il tuo scopo (ad es. forza totale che agisce sul sistema) riposo o movimento non è ciò che ' stai veramente cercando. ' sono stato sciatto semplicemente dicendoti: " il sistema non è a riposo " . Ciò che ' è importante è laccelerazione totale e in questo caso ' è diverso da 0. Un movimento a velocità costante non necessita di alcuna forza che agisca su il sistema. ' mi fermo qui perché ' stiamo un po abusando dello spazio per i commenti.
Risposta
Il sistema non è a riposo. Se consideri le masse e la puleggia come un unico sistema, puoi capire il comportamento del sistema dal comportamento del suo centro di massa. A meno che le masse non siano uguali, il centro di massa del sistema non è a riposo.
Potrebbe essere utile pensarlo in questo modo: allinterno del sistema la massa di confine $ m_1 $ si sposta verso il basso lungo una distanza mentre la massa $ m_2 $ si sposta verso lalto della stessa distanza. Quindi, il centro di massa si è spostato verso il basso (o verso lalto a seconda che $ m_1 > m_2 $).
Quindi, la tensione sarebbe data dallequazione:
$$ (m_1 + m_2) a_ {cm} = (m_1 + m_2) g – T_c $$
Puoi scoprirlo ulteriormente
$ a_ {cm} = a (m_2-m_1) / (m_1 + m_2) $, dove a è il valore dellaccelerazione di massa $ m_1 $ che hai menzionato.
Inseriscilo nellequazione e scoprirai che:
$ T_c = \ frac {4m_1m_2} {m_1 + m_2} {g} $
Commenti
- Questo è il modo in cui cercherò di insegnare questo problema. Grazie.
- Cè qualche possibilità che tu o @Nick potreste commentare la soluzione assumendo la forma 4g * mu? So che potrebbe essere oltre lo scopo del problema, ma quando vedo connessioni del genere, cerco di capirle.
Rispondi
Ecco è davvero un difetto nella tua argomentazione. In breve, la tensione sulla chiusura della puleggia è necessaria solo per annullare la forza gravitazionale totale sul sistema quando tutto è in equilibrio ibrium e non cè accelerazione. Tuttavia, se le masse sono sbilanciate, una di esse cadrà e laltra si solleverà, e non è chiaro che ciò manterrà la forza totale allo stesso valore del caso bilanciato.
Infatti, puoi controllare che quando le due masse sono uguali allora le risposte coincidono: la tensione corretta sulla chiusura della puleggia è $$ T_ \ text {clasp} = 2T = \ frac {4m ^ 2} {m + m} g = 2 mg = (m + m) g. $$