Perché lenergia potenziale gravitazionale è negativa e cosa significa?

Riguardo alle energie negative: non pongono alcun problema:

In questo contesto, solo le differenze di energia hanno un significato. Lenergia negativa appare perché quando hai fatto lintegrazione, hai impostato un punto in cui hai impostato il tuo energia a 0. In questo caso, hai scelto $ PE_1 = 0 $ per $ r = \ infty $. Se hai impostato $ PE_1 = 1000 $ a $ r = \ infty $, lenergia era positiva per qualche r .

Tuttavia, il segno meno è importante, in quanto indica che la particella di prova sta perdendo energia potenziale quando si sposta in $ r = 0 $, questo è vero perché sta accelerando, causando un aumento di $ KE $:

calcoliamo $ \ Delta PE_1 $ per una particella che si muove nella direzione di $ r = 0 $: $ r_i = 10 $ e $ r_f = 1 $:

$ \ Delta PE_1 = PE_f – PE_i = Gm (-1 – (-0.1)) = -Gm \ times0 .9 < 0 $

come previsto: perdiamo $ PE $ e vinciamo $ KE $.

Secondo punto elenco: sì, tu hanno ragione. Tuttavia, è vero solo SE sono particelle puntiformi: se hanno normalmente un raggio definito, entrano in collisione quando $ r = r_1 + r_2 $, provocando una collisione elastica o anelastica.

Terzo punto : hai ragione con $ PE_2 = mgh $, tuttavia, ancora una volta, stai scegliendo un dato referenziale: stai assumendo $ PE_2 = 0 $ per $ y = 0 $, il che, nella notazione precedente, significa che stavi impostando $ PE_1 = 0 $ per $ r = r_ {earth} $.

Il più i La differenza importante ora è che stai dicendo che un aumento di h è spostandosi più lontano in r (se sei più alto, sei più lontano dal centro della Terra).

Facendo lanalogia con il problema precedente, immagina di voler ottenere $ \ Delta PE_2 $. In questo caso, inizi da $ h_i = 10 $ e vuoi passare a $ h_f = 1 $ (spostandoti in direzione del centro della Terra, come $ \ Delta PE_1 $:

$ \ Delta PE_2 = PE_ {f} – PE_ {i} = 1mg – 10mg = -9mg < 0 $.

Come previsto, poiché stiamo cadendo, stiamo perdendo $ PE $ e vincendo $ KE $, lo stesso risultato ha $ PE_1 $

Quarto punto: entrambi rappresentano la stessa cosa. La differenza è che $ gh $ è il primo termine nel Serie di Taylor dellespansione di $ PE_1 $ vicino a $ r = r_ {Earth} $. Come esercizio, prova ad espandere $ PE_1 (r) $ in una serie di taylor e mostra che il termine lineare è:

$ PE_1 = a + \ frac {Gm (r-r_ {earth})} {r_ {earth} ^ 2} $.

Loro calcolano numericamente $ Gm / r_ {earth} ^ 2 $ (ricorda che $ m = m_ {earth} $). Se non lhai già fatto, immagino che sarai sorpreso.

Quindi, da quello che ho capito, la tua logica è del tutto corretta, a parte due punti chiave:

• lenergia è definita separatamente da un valore costante.

• in th e $ PE_1 $, aumentare r significa diminuire $ 1 / r $, il che significa aumentare $ PE_2 = -Gm / r $. In $ PE_2 $, aumentare h significa aumentare $ PE_2 = mgh $.

Commenti

• Ah, vedo, il trucco è che ‘ è un valore relativo – continuo a pensare allenergia come a qualcosa di assoluto (anche se immagino che anche lenergia cinetica cambi, a seconda del tuo sistema di riferimento) . Suppongo che ‘ d mi piace impostare PE = 0 quando r = 0, ma sfortunatamente, secondo lequazione ci vorrebbe energia infinita per tirare le particelle a parte! Quindi immagino che PE = 0 quando r = ∞ sia lunica altra scelta ragionevole. Tutto ha senso ora – grazie!
• Inoltre, la formula cambia allinterno di una massa non puntuale, quindi il limite da $ r \ a 0 $ è finito.

Per prima cosa (1) riassumerò le differenze tra le definizioni di PE1 e PE2 e poi (2) le equiparerò.

(1) Primo, come questa risposta a “Perché lenergia gravitazionale è negativa?” dice , PE1 definisce lenergia potenziale di un corpo di massa m nel campo gravitazionale di una massa M come lenergia (lavoro) necessaria per prenderlo da la sua posizione corrente $ r $ allinfinito. PE1 presuppone che $ r = \ infty $ sia $ PE = 0 $ $$ PE1 = \ frac {−GMm} {r} $$

PE2, daltra parte, è definito come il negativo del lavoro svolto dalla gravità per sollevare un corpo di massa m dalla superficie di un pianeta ad unaltezza h sopra il pianeta.

$$ PE2 = -W = -Fdcos \ theta = mgh $$

PE2 ha un frame di riferimento diverso da PE1 , poiché assume $ PE = 0 $ a $ r = R $, o sulla superficie del pianeta. Inoltre, aspetto molto importante, PE2 viene utilizzato solo quando un oggetto è vicino alla superficie di un pianeta , quando $ h < < < R $ (R è il raggio del pianeta) e g può essere assunto come costante:

$$ g = \ frac {GM} {(R + h) ^ 2} \ approx \ frac {GM} {R ^ 2} $$

(2) OK, ora passiamo allequazione dei due. Sebbene i frame di riferimento per PE1 e PE2 siano diversi, $ | \ Delta PE | $ tra due punti dovrebbe sicuramente essere lo stesso. A titolo di esempio, supponiamo che i due punti siano la superficie del pianeta e laltezza h sopra il pianeta.

PE1 dice $ | \ Delta PE | = mgh -mg (0) = mgh $

PE2 dice $ | \ Delta PE | = \ frac {-GMm} {R + h} – \ frac {-GMm} {R} = GMm \ left ( \ frac {1} {R} – \ frac {1} {R + h} \ right) = GMm \ left (\ frac {h + RR} {(R) (h + R)} \ right) = \ frac {GMmh} {(R) (R + h)} $

e perché $ h < < < R $, $ \ frac {GMmh} {(R) (R + h)} \ approx \ frac {GMmh} {R ^ 2} = mgh $

E quindi, PE1 e PE2 rappresentano entrambi la stessa forma di energia, ma dobbiamo tenere a mente i quadri di riferimento e le condizioni di utilizzo quando li usiamo.

Spero che questo aiuti !! Pace.

È perché la forza gravitazionale è attrattiva e il lavoro è svolto dalla forza gravitazionale stessa. Quando il sistema funziona, lenergia stessa è considerato negativo e quando il lavoro è svolto da un agente esterno sullenergia del sistema è considerato positivo.

Penso che sia solo una preferenza.

Potremmo vedere lenergia potenziale gravitazionale come positiva , che rappresenta lenergia “investita” nella nostra posizione rispetto a un oggetto massiccio. Possiamo “riguadagnare” quellenergia (aumentare lenergia cinetica) avvicinandoci alloggetto, a quel punto abbiamo abbassato la quantità di energia che potremmo guadagnare muovendoci ulteriore.Quindi lenergia potenziale diminuisce man mano che ci avviciniamo (avvicinandoci a energia zero a distanza zero), aumenta man mano che ci allontaniamo e la somma di PE e KE è costante.

Ma qual è il valore della costante? Quando siamo molto molto lontani dalloggetto massiccio dovremmo avere unenergia potenziale molto molto grande. Ma anche quando siamo abbastanza vicini alloggetto massiccio, siamo molto molto lontani da ogni altro oggetto massiccio nelluniverso, e quindi dovremmo avere energie potenziali gravitazionali molto molto grandi rispetto a tutti quegli oggetti. Possiamo calcolare approssimativamente un valore per KE + PE considerando solo gli oggetti più rilevanti (quelli più vicini e / o più grandi), ma il nostro valore approssimativo cresce e cresce e cresce man mano che cerchiamo di ottenere approssimazioni più accurate includendo più piccoli e più -oggetti distanti nella nostra categoria di oggetti “rilevanti”. Quindi la nostra costante KE + PE è un valore incredibilmente grande che non possiamo mai calcolare o stimare davvero come un valore specifico. In un certo senso non è “ importa che non possiamo” mai rivendicare un valore, poiché le differenze di energie sono tutto ciò di cui abbiamo veramente bisogno per lavorare e possiamo ancora calcolare quelli (supponendo che la nostra PE rispetto a tutto il resto nelluniverso sia cambiata solo in modo trascurabile quando ci muoviamo vicino alloggetto massiccio che stiamo considerando). Ma sembra insoddisfacente.

Daltra parte, invece di considerare la PE come una quantità positiva di energia “investita” nella nostra posizione (energia che “abbiamo già” speso “se ci stessimo allontanando dalloggetto massiccio, che potremmo guadagnare avvicinandoci), possiamo invece considerarla negativa quantità di energia che “dobbiamo” a causa della nostra posizione (energia che “abbiamo guadagnato” gratuitamente “se ci avvicinassimo alloggetto dallinfinito, che dovremmo” spendere “per scappare di nuovo allinfinito).

Tutti i calcoli delle differenze di energia funzionano comunque allo stesso modo. Ma ora la nostra PE relativa a un oggetto va a zero poiché ci allontaniamo molto da loggetto. Ciò significa che poiché possiamo calcolare unapprossimazione della nostra costante KE + PE considerando solo gli oggetti più rilevanti, e mentre cerchiamo di ottenere approssimazioni migliori includendo oggetti più piccoli e più distanti nel nostro calcolo, gli effetti di quegli oggetti aggiuntivi si avvicinano e più vicino a zero. Quindi otteniamo un numero effettivo che possiamo giustamente dire essere il valore della nostra costante KE + PE.

Il Il fatto che lenergia potenziale gravitazionale come tutte le energie potenziali delle forze attartive sia negativa si basa sul fatto che si vuole supporre che quando le particelle sono allinfinito luna rispetto allaltra ea riposo il sistema ha energia totale zero. Immagina se questo non fosse il caso e si considerasse un sistema di due particelle a separazione infinita a riposo per avere unenergia netta, allora sorgerebbe una certa confusione sullenergia associata alla massa a riposo. Lenergia totale del sistema non sarebbe quindi $ E = Mc.c $ dove $ M $ è la somma di due masse. Da dove verrebbe allora questa energia extra?

È sbagliato considerare lenergia potenziale gravitazionale negativa – anche se comune.

Il grosso errore è nellassegnare il PE a infinito = 0. Questo è chiaramente sbagliato – P.E. è chiaramente 0 a 0 separazioni, e grande a grandi separazioni. Il P.E. di oggetti lontani luno dallaltro dovrebbe essere la somma del P.E. per il primo diciamo 100 “di separazione più il P.E. per il secondo 100” di separazione più — il P.E. per ogni 100 “fino a quando lintera separazione è stata contabilizzata. (Lo esprimerò come un integrale dopo aver rispolverato i miei calcoli.) Vale a dire, PE INCEAS allaumentare della separazione, a partire da 0 senza separazione.

Molte persone commettono un grosso errore nel considerare lenergia potenziale gravitazionale come negativa!

Commenti

• Con il campo di una sorgente puntiforme che obbedisce allinverso -square legge, la forza è proporzionale a $ r ^ {- 2} $ e il potenziale (e lenergia potenziale) è quindi proporzionale a $ r ^ {- 1} $. Il lineare $ P = mgh $ è solo unapprossimazione per piccoli cambiamenti di distanza.
• @ HDE226868 Intendevi commentare una risposta diversa?
• @diracula No – Avrei dovuto chiarirmi meglio. Stavo mostrando matematicamente perché il potenziale lenergia svanisce allinfinito invece di crescere allinfinito; come $ r \ to \ infty $, $ r ^ {- 1} $ va a $ 0 $.