Qui vogliamo mostrare che il metodo Box-Muller genera una coppia di variabili casuali gaussiane standard indipendenti . Ma non capisco perché usiamo il determinante? Per me quando hai due variabili indipendenti la funzione di densità congiunta è solo il prodotto della funzione di due densità. Qualcuno può spiegarmi il significato del determinante qui? Per favore.
Commenti
- Cè un " cambio di variabili " coinvolto nel passaggio da X a Y e quindi devi per moltiplicare per il Jacobiano della trasformazione che è il determinante che vedi sopra. Vedi ad esempio la Proposizione 8 qui math.uah.edu/stat/dist/Transformations.html
- Ok capisco grazie Alex per la tua risposta.
Risposta
Sia $ Z = \ sqrt {-2 \ ln (X_1)} $, abbiamo
\ begin {align} \ mathbb {P} \ left [Z \ leq z \ right] = \ mathbb { P} \ sinistra [-2 \ ln (X_1) \ leq z ^ 2 \ destra] = \ mathbb {P} \ sinistra [\ ln (X_ 1) \ geq – \ frac {z ^ 2} {2} \ right] = 1 – \ mathbb {P} \ biggl [X_1 < \ exp \ left (- \ frac {z ^ 2} {2} \ right) \ biggr] \, \ end {align} $ X_1 $ è definito in modo uniforme su $ [0, 1] $, quindi $$ \ mathbb {P} [Z \ leq z] = 1 – \ int_0 ^ {\ exp (-z ^ 2/2)} \, dt = 1 – \ exp \ left (- \ frac {z ^ 2} {2} \ right). $$ Infatti $$ f_Z (z) = \ begin {cases} \ exp \ left (- \ frac {z ^ 2} {2} \ right), \ quad z > 0 \\ 0 \ qquad \ qquad, \ quad \ text {ow} \ end {cases} $$ let $ W = 2 \ pi X_2 $. Quindi $ X_2 $ è distribuito uniformemente su $ [0,1] $, quindi $$ f_W (w) = \ begin {cases} \ frac {1} {2 \ pi}, \ quad 0 < w \ le 2 \ pi \\ 0 \, \, \, \ ,, \ quad \ text {ow} \ end {cases} $$ Dato che $ X_1 $ e $ X_2 $ sono indipendenti, $ Z $ e $ W $ dovrebbero essere indipendenti. Abbiamo $$ f_ {Z, W} (z, w) = f_ {Z} (z) f_ {W} (w) = \ begin {cases} \ frac {1} {2 \ pi} \ exp \ left (- \ frac {z ^ 2} {2} \ right), \ quad z > 0 \ quad \ text {e} \ quad 0 < w \ le 2 \ pi \\ 0 \ qquad \ qquad \ quad \ ,, \ quad \ text {ow} \ end {cases} $$ Definisci la funzione $ q: (0, \ infty) \ times ( 0,2 \ pi] \ a \ mathbb {R} ^ 2 $ tale che $ q (z, w) = (z \ cos (w), z \ sin (w)) $ quindi $$ \ mathbb {P} _ {Y_1, Y_2} = \ mathbb {P} _ {Z, W} \ circ q ^ {- 1} $$ in altre parole $$ q_ {Y_1, Y_2} (y_1, y_2) = \ frac {f_ { Z, W} (q ^ {- 1} (y_1, y_2))} {| \ det (q “(q ^ {- 1} (y_1, y_2))) |} $$ possiamo mostrare facilmente $$ z = \ sqrt {y_1 ^ 2 + y_2 ^ 2} $$ poi $$ q_ {Y_1, Y_2} (y_1, y_2) = \ frac {1} {2 \ pi} \ exp \ left (- \ frac {y_1 ^ 2 + y_2 ^ 2} {2} \ right) $$
Risposta
Si può vedere che $ Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2 = -2 \ log {X_2} $ e quel $ Y_2 \ over Y_1 $ $ = \ tan (2 \ pi X_1) $ .
Quindi $ X_1 = {1 \ over {2 \ pi}} {\ arctan {Y_2 \ over Y_1}} $ e $ X_2 = \ exp {- (Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2) \ over 2} $ .
Prendendo il differenziale per ottenere $ dX_1 = {1 \ over {2 \ pi}} {{- Y_2dY_1 + Y_1dY_2} \ over {Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2}} $ .
Allo stesso modo, $ dX_2 = {\ exp {- {Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2} \ over 2} (Y_1 dY_1 + Y_2dY_2)} $ .
Quindi Jacobian $ \ mathbb J $$ ({{X_1, X_2} \ over {Y_1, Y_2}}) $ = $ 1 \ over {2 \ pi} $ $ \ exp {- (Y_1 ^ 2 + Y_2 ^ 2) \ over 2 } $ .
Per i PDF, come $ f_ {X_1, X_2} (x_1, x_2) $ $ \ mathbb J $$ ({{X_1, X_2} \ over {Y_1, Y_2}}) = $ $ f_ {Y_1, Y_2} (y_1, y_2) $ ,
restituisce $ f_ {Y_1, Y_2} (y_1, y_2) = $ $ \ sqrt {1 \ over {2 \ pi}} $ $ \ exp {-y_1 ^ 2 \ over 2} $ $ \ sqrt {1 \ over {2 \ pi}} $ $ \ exp {-y_1 ^ 2 \ oltre 2} $
che mostrano che $ Y_1, Y_2 $ sono variabili casuali gaussiane indipendenti.
Commen ts
- intervallo di $ X_1 $ dovrebbe essere (0,1), ma $ X_1 = \ frac {1} {2 \ pi} \ arctan {\ frac {Y_2 } {Y_1}} $ è $ (- \ frac {1} {4}, \ frac {1} {4}) $