Prova della formula Baker-Campbell-Hausdorff più debole [duplicate]

In primo luogo, presumo operatori di dimensione finita: altrimenti è necessario verificare determinate condizioni di limitatezza sugli operatori. Poiché la serie CBH è qui troncata dai doppi commutatori che scompaiono, le condizioni per gli operatori lineari su eg $ \ mathbf {L} ^ 2 (\ mathbb {R}) $ saranno lievi.

Devi esercitarti con le operazioni con $ \ mathrm {Ad} $. Cerca quanto segue. Nel gruppo di Lie $ \ mathfrak {G} $ con algebra $ \ mathfrak {g} $ il vettore tangente al percorso:

$$ \ sigma: \ mathbb {R} \ to \ mathfrak {G }; \; \ sigma (\ tau) = e ^ A \, e ^ {\ tau \, B} \, e ^ {- A}; \; A, \, B \ in \ mathfrak {g} \ tag {1} $$

allidentità è $ \ mathrm {Ad} (e ^ A) \, B = \ exp (\ mathrm {ad} (A)) \, B $. Qui $ \ mathrm {Ad}: \ mathfrak {G} \ to GL (\ mathfrak {g}) $ è la Rappresentanza Aggiuntiva . È un omomorfismo di un gruppo di Lie dal generale gruppo di Lie $ \ mathfrak {G} $ al gruppo di matrice di Lie $ GL (\ mathfrak {g}) $. Il suo kernel è il centro di $ \ mathfrak {G} $. Poiché è un omomorfismo, abbiamo $ \ mathrm {Ad} (\ gamma \, \ zeta) = \ mathrm {Ad} (\ gamma) \, \ mathrm {Ad} (\ zeta); \, \ forall \ gamma , \, \ zeta \ in \ mathfrak {G} $. Unaltra identità utile è:

$$ \ begin {array} {lcl} \ mathrm {Ad} (e ^ A) \, B & = & \ exp (\ mathrm {ad} (A)) \, B \\ & = & B + \ mathrm {ad} (A) B + \ frac {\ mathrm {ad} (A) ^ 2} {2!} \, B + \ cdots \\ & = & B + [A, \, B] + \ frac {1} {2!} \, [A, \, [A, \, B]] + \ cdots \ end {array} \ tag {2} $$

e questa serie è universalmente convergente se loperatore $ B \ mapsto [A, \, B] $ è opportunamente limitato ( ad esempio $ \ left \ | [A, \, B] \ right \ | \ leq K (A) \, \ left \ | B \ right \ | $ per qualche $ K (A ) \ in \ mathbb {R} $ – questo è certamente vero per le dimensioni finite).

Ora, per (1) e la proprietà dellomomorfismo ($ \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \ , A} \, e ^ {\ lambda \, B}) = \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, A}) \, \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, B}) $), puoi trovare che:

$$ \ begin {array} {lcl} \ mathrm {d} _ \ lambda f & = & A \, e ^ {\ lambda \, A} \, e ^ {\ lambda \, B} \, e ^ {- \ lambda \, (A + B)} + e ^ {\ lambda \, A} \, B \, e ^ {\ lambda \, B} \, e ^ {- \ lambda \, (A + B)} – e ^ {\ lambda \, A} \, e ^ {\ lambda \, B} \, (A + B) \, e ^ {- \ lambda \, A + B)} \\ & = & \ left (A + e ^ {\ lambda \, A} \, B \, e ^ {- \ lambda \, A} – e ^ {\ lambda \, A} \, e ^ {\ lambda \, B} \, (A + B) \, e ^ {- \ lambda \, B} \, e ^ {- \ lambda \, A} \ right) \, e ^ {\ lambda \, A} \, e ^ {\ lambda \, B} \, e ^ {- \ lambda \, (A + B)} \\ & = & \ left (A + \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, A}) \ left (B- \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, B}) \, ( A + B) \ right) \ right) \, f \ end {array} \ tag {3} $$

Tutto quanto sopra è perfettamente generale. Devi specializzarlo per il tuo caso troncato. Quindi usa la serie (2) universalmente convergente (e qui troncata a due termini) per espandere $ A + \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, A}) \ left (B- \ mathrm {Ad} (e ^ {\ lambda \, B}) \, (A + B) \ right) $ e troncalo per il tuo caso speciale e penso che dovresti fare qualche progresso.

Un pedante dispetto: sebbene entrambi gli ordini per il nome siano abbastanza comuni, lordine che riflette accuratamente la precedenza storica è “Campbell-Baker-Hausdorff” poiché ciascuno degli autori ha dato il proprio contributo nel 1897/1898 (Campbell), 1905 (Baker) e 1906 (Hausdorff ), rispettivamente. Ognuno era a conoscenza del “lavoro dei suoi predecessori, ma, come affermato nel Fascicolo 16 Ch 1 di Bourbaki (1960),” ognuno trovava le dimostrazioni dei suoi predecessori poco convincenti (!) “. Questa affermazione mi fa sempre ridere e mi dà un certo conforto che io “Non sono lunico con un tasso di comprensione di circa il 5% nella lettura della letteratura tecnica (credo di aver bisogno di leggere un articolo circa 20 volte in media per” capirlo “). Un fatto divertente è che nessuno di questi tre ha effettivamente elaborato la serie. Invece, hanno stabilito il teorema che la serie converge allinterno di un quartiere di $ \ mathbf {0} $ nellalgebra di Lie e comprende solo operazioni lineari e parentesi di Lie. La formula stessa è dovuta a Dynkin ed è stata completamente elaborata nel 1947!

Commenti

• grazie mille per aver risposto! ' farò del mio meglio per studiare la tua risposta, nonostante la mia piccola conoscenza a livello introduttivo di gruppi di bugie e algebre.
• @quarkleptonboson I ' ho aggiunto un altro passaggio allEq. (3) per aiutarti.Basti pensare a tutti gli operatori come matrici quadrate $ N \ volte N $ e tutte le parentesi di Lie e le moltiplicazioni diventano quindi moltiplicazioni di matrici concrete. (2) è sempre una serie di potenze di matrici letterali, poiché il gruppo di trasformazioni lineari invertibili su $ \ mathfrak {g} $ è sempre un gruppo di matrici.