In molti luoghi della fisica statistica usiamo la funzione di partizione . Per me, le spiegazioni del loro uso sono chiare, ma mi chiedo quale sia il loro significato fisico. Qualcuno può spiegare con un buon esempio senza troppe complicazioni matematiche?
Commenti
- Oltre ad essere un fattore di normalizzazione, molte delle sue caratteristiche significative per i calcoli derivano dalla sua somiglianza con Z e trasformate di Laplace, grazie alla distribuzione di Boltzmann esponenziale con energia, che è una specie di " co-indidence " in quanto ' t funzionerebbe con una distribuzione diversa.
- Hai letto il " significa " sezione nellarticolo di Wikipedia ? Se sì, cosa ' non ti soddisfa riguardo a " codifica il modo in cui le probabilità sono partizionate tra i diversi microstati " ?
- Possibile duplicato di Lirragionevole efficacia della funzione di partizione
Risposta
La funzione di partizione è una misura del volume occupato dal sistema nello spazio delle fasi. Fondamentalmente, ti dice quanti microstati sono accessibili al tuo sistema in un dato insieme. Questo può essere facilmente visto a partire dal insieme microcanonico .
Nellinsieme microcanonico, dove ogni microstato con energia compresa tra $ E $ e $ E + \ Delta E $ è ugualmente probabile, la funzione di partizione è
$$ Z_ {mc} (N, V, E) = \ frac 1 {N! h ^ {3N}} \ int_ {E < \ mathcal H (\ {p, q \}) < E + \ Delta E } d ^ {3N} p \ d ^ {3N} q \ tag {1} $$
dove lintegrale è semplicemente lipervolume della regione dello spazio delle fasi dove lenergia (hamiltoniana) $ \ mathcal H $ del sistema è compreso tra $ E $ e $ E + \ Delta E $, normalizzato da $ h ^ {3N} $ per renderlo adimensionale. Il fattore $ N! ^ {- 1} $ tiene conto del fatto che scambiando l “etichetta” su due particelle il microstato non cambia.
$$ S = k_B \ log (Z_ {mc}) \ tag {2} $$
ti dice che lentropia è proporzionale a il logaritmo del numero totale di microstati corrispondenti al macrostato del tuo sistema, e questo numero è solo $ Z_ {mc} $.
Negli insiemi canonici e gran canonici rimane il significato della funzione di partizione lo stesso, ma poiché lenergia non è più fissata, lespressione cambierà.
La funzione di partizione canonica è
$$ Z_c (N, V, T) = \ frac 1 {N! h ^ {3N}} \ int e ^ {- \ beta \ mathcal H (\ {p, q \})} d ^ {3N} p \ d ^ {3N} q \ tag {3} $$
In questo caso, integriamo tutto lo spazio delle fasi, ma assegniamo a ogni punto $ \ {p, q \} = (\ mathbf p_1, \ dots \ mathbf p_N, \ mathbf q_1, \ dots \ mathbf q_N) $ a peso $ \ exp (- \ beta \ mathcal H) $, dove $ \ beta = (k_B T) ^ {- 1} $, in modo che quegli stati con energia molto superiore a $ k_B T $ sono meno probabili. In questo caso, la connessione con la termodinamica è data da
$$ – \ frac {F} {T} = k_B \ log (Z_c) \ tag {4} $$
dove $ F $ è l energia libera di Helmholtz .
La grande funzione di partizione canonica è
$$ Z_ { gc} (\ mu, V, T) = \ sum_ {N = 0} ^ \ infty e ^ {\ beta \ mu N} Z_c (N, V, T) \ tag {5} $$
dove questa volta stiamo anche sommando tutti i possibili valori del numero di particelle $ N $, pesando ogni termine per $ \ exp (\ beta \ mu N) $, dove $ \ mu $ è il potenziale chimico .
La connessione con la termodinamica è data da
$$ \ frac {PV} {T} = k_B \ log (Z_ {gc} \ tag {6}) $$
Answer
It “s $ e ^ {- F / T} $, dove $ F / T $ è lenergia libera normalizzata dalla relativa scala di energia termodinamica, la temperatura. Lesponenziale è solo una riparametrizzazione monotona, quindi moralmente parlando, la funzione di partizione è solo lenergia libera che è disponibile per fare un lavoro utile.
Unaltra interpretazione: if lo normalizzi in modo che $ E = 0 $ sia lo stato fondamentale, quindi, in parole povere, è il reciproco della “frazione del sistema che” è nello stato fondamentale “. Estremamente euristicamente, sia $ g $ la quantità totale del sistema che è nello stato fondamentale, $ e $ la quantità totale del sistema che è in uno stato uscito e $ s = g + e $ sia lo importo totale del sistema. Allora $ g / s $ è la frazione del sistema che “è nello stato fondamentale, e il suo reciproco è $ s / g = (g + e) / g = 1 + e / g $. Il peso di Boltzmann dà che il il peso relativo (o “quantità”) di ogni stato eccitato $ i $ con energia $ E_i $ rispetto al peso dello stato fondamentale è $ e ^ {- \ beta E_i} $.Sommando tutti gli stati eccitati $ i $, otteniamo la funzione di partizione $ s / g = 1 + e ^ {- \ beta E_1} + e ^ {- \ beta E_2} + \ dots $.
Risposta
Il significato fisico della funzione di partizione è il seguente: Esprime il numero di stati termicamente accessibili che un sistema fornisce ai portatori (es. elettroni).