Qual è la definizione di distribuzione simmetrica? Qualcuno mi ha detto che una variabile casuale $ X $ proveniva da una distribuzione simmetrica se e solo se $ X $ e $ -X $ ha la stessa distribuzione, ma penso che questa definizione sia in parte vera perché posso presentare un controesempio $ X \ sim N (\ mu, \ sigma ^ {2}) $ e $ \ mu \ neq0 $. Ovviamente ha una distribuzione simmetrica, ma $ X $ e $ -X $ hanno una distribuzione diversa! Ho ragione? Ragazzi, pensate mai a questa domanda? Qual è la definizione esatta di distribuzione simmetrica?
Commenti
- Quando dici, una distribuzione ” è simmetrica “, devi specificare rispetto a quale punto è simmetrico. Nel caso della distribuzione normale che presenti, la simmetria è data intorno a $ \ mu $. In questo caso $ X- \ mu $ e $ – (X- \ mu) $ hanno la stessa distribuzione. In termini di densità questo può essere espresso come: $ f $ è simmetrico rispetto a $ \ mu $ se $ f (\ mu-x) = f (\ mu + x) $. A proposito, è buona educazione accettare le risposte quando sei soddisfatto di una di esse.
- Sì, noi ragazzi abbiamo pensato a questa domanda. Simmetrico generalmente significa simmetrico intorno a $ 0 $ e, per prevenire ulteriori controesempi, laffermazione secondo cui le distribuzioni sono simmetriche non è qualcosa che è vero per la funzione di distribuzione di probabilità cumulativa . Il tuo ” controesempio ” ha una simmetria sul punto $ \ mu \ neq 0 $, non sul punto $ 0 $.
- @Dilip Quando una definizione dipende da un modo di descrivere qualcosa, ma si può dimostrare che quella definizione è una proprietà intrinseca di quel qualcosa, allora non ha senso applicare la definizione a un diverso forma di descrizione. In questo caso, la simmetria è una proprietà di una distribuzione , ma ciò non implica che tutte le descrizioni di tale distribuzione (inclusi PDF e CDF) debbano essere ” simmetrico ” nello stesso modo. Applicando la simmetria del PDF alla CDF, il tuo commento confonde la domanda piuttosto che chiarirla.
- shijing, @Procrastinator ha osservato che hai posto molte domande senza accettare alcuna risposta. Ciò suggerisce che potresti non avere familiarità con il funzionamento di questo sito. Per chiarire qualsiasi malinteso, leggere la parte pertinente delle nostre domande frequenti fino in fondo ? Ci vorranno solo un paio di minuti e seguire la sua guida aumenterà il valore del nostro sito per te.
- @whuber Il CDF è una delle poche descrizioni in cui la parola distribuzione si trova effettivamente nel nome e stavo cercando di chiarire che la proprietà di simmetria non era valida per il CDF.
Risposta
Brevemente: $ X $ è simmetrico quando $ X $ e $ 2aX $ hanno la stessa distribuzione per un numero reale $ a $. Ma arrivare a questo in modo del tutto giustificato richiede alcune digressioni e generalizzazioni, perché solleva molte domande implicite: perché questa definizione di” simmetrico “? Possono esserci altri tipi di simmetrie? Qual è la relazione tra una distribuzione e le sue simmetrie e, viceversa, qual è la relazione tra una “simmetria” e quelle distribuzioni che potrebbero avere quella simmetria?
Le simmetrie in questione sono riflessi della linea reale. Hanno tutti la forma
$$ x \ a 2a-x $$
per qualche costante $ a $.
Quindi, supponiamo che $ X $ abbia questa simmetria per almeno un $ a $. Quindi la simmetria implica
$$ \ Pr [X \ ge a] = \ Pr [2a-X \ ge a] = \ Pr [X \ le a] $$
mostrando che $ a $ è una mediana di $ X $. Allo stesso modo, se $ X $ ha unaspettativa, ne segue immediatamente che $ a = E [X] $. Quindi di solito possiamo fissare facilmente $ a $. Anche in caso contrario, $ a $ (e quindi la simmetria stessa) è ancora determinata in modo univoco (ammesso che esista).
Per vedere questo, sia $ b $ qualsiasi centro di simmetria. Quindi applicando entrambe le simmetrie vediamo che $ X $ è invariante sotto la traduzione $ x \ in x + 2 (b-a) $. Se $ b-a \ ne 0 $, la distribuzione di $ X $ deve avere un periodo di $ b-a $, il che è impossibile perché la probabilità totale di una distribuzione periodica è $ 0 $ o infinita. Quindi $ ba = 0 $, a indicare che $ a $ è unico.
Più in generale, quando $ G $ è un gruppo che agisce fedelmente sulla linea reale (e per estensione su tutti i suoi sottoinsiemi Borel), potremmo dire che una distribuzione $ X $ è “simmetrica” (rispetto a $ G $) quando
$$ \ Pr [X \ in E] = \ Pr [X \ in E ^ g] $$
per tutti gli insiemi misurabili $ E $ e gli elementi $ g \ in G $, dove $ E ^ g $ denota limmagine di $ E $ sotto lazione di $ g $.
Ad esempio, lascia che $ G $ sia ancora un gruppo di $ 2 $, ma ora lascia che la sua azione sia quella di prendere il reciproco di un numero reale (e lasciare che aggiusti $ 0 $). La distribuzione lognormal standard è simmetrica rispetto a questo gruppo. Questo esempio può essere inteso come unistanza di simmetria di riflessione in cui ha avuto luogo una riespressione non lineare delle coordinate. Ciò suggerisce di concentrarsi su trasformazioni che rispettano la “struttura” della linea reale. La struttura essenziale per la probabilità deve essere correlata agli insiemi di Borel e alla misura di Lebesgue, entrambi definibili in termini di distanza (euclidea) tra due punti.
Una distanza che preserva map è, per definizione, una isometria. È ben noto (e facile, anche se un po complicato, dimostrare) che tutte le isometrie della linea reale sono generate da riflessioni. Quindi, quando si capisce che “simmetrico” significa simmetrico rispetto a qualche gruppo di isometrie , il gruppo deve essere generato al massimo da una riflessione e abbiamo visto che la riflessione è determinata in modo univoco da qualsiasi distribuzione simmetrica rispetto ad essa. In questo senso, lanalisi precedente è esaustiva e giustifica la solita terminologia delle distribuzioni “simmetriche”.
Per inciso, una serie di esempi multivariati di distribuzioni invarianti sotto gruppi di isometrie è possibile considerando distribuzioni “sferiche”. Questi sono invarianti per tutte le rotazioni (rispetto a qualche centro fisso). Questi generalizzano il caso unidimensionale: le “rotazioni” della linea reale sono solo i riflessi.
Infine, vale la pena sottolineare che una costruzione standard – media sul gruppo – fornisce un modo per produrre carichi di distribuzioni simmetriche. Nel caso della linea reale, sia $ G $ generata dalla riflessione su un punto $ a $, in modo che sia costituita dallelemento identità $ e $ e da questa riflessione $ g $. Sia $ X $ qualsiasi distribuzione. Definisci la distribuzione $ Y $ impostando
$$ {\ Pr} _Y [E] = \ frac {1} {| G |} \ sum_ {g \ in G} {\ Pr} _X [ E ^ g] = ({\ Pr} _X [E] + {\ Pr} _X [E ^ g]) / 2 $$
per tutti gli insiemi di Borel $ E $. Questo è manifestamente simmetrico ed è facile verificare che rimanga una distribuzione (tutte le probabilità rimangono non negative e la probabilità totale è $ 1 $).
Illustrando il processo di media di gruppo, il PDF di una distribuzione Gamma simmetrica (centrata su $ a = 2 $) è mostrato in oro. La gamma originale è in blu e il suo riflesso è in rosso.
Commenti
- (+1) Vorrei aggiungere che, nellimpostazione multivariata, la definizione di simmetria non è univoco. In questo libro ci sono 8 possibili definizioni di distribuzioni multivariate simmetriche.
- @Procrastinator I ‘ Sono curioso di sapere cosa potresti intendere con ” non univoco. ” AFAIK, qualsiasi cosa che giustifichi il nome ” simmetria ” si riferisce in ultima analisi a unazione di gruppo su uno spazio. Sarebbe interessante per vedere quali diversi tipi di azioni gli statistici hanno trovato utili. Dato che quel libro è esaurito e non è disponibile sul Web, potresti fare un rapido esempio di due tipi di simmetria davvero diversi considerati in quel libro?
- La tua intuizione è corretta, questo è legato alle caratteristiche statistiche : Simmetria centrale $ {\ bf X} – \ mu \ stackrel {d} {=} – ({\ bf X} – \ mu) $; Simmetria sferica $ X- \ mu \ stackrel {d} {=} {\ bf O} ({\ bf X} – \ mu) $ per tutte le matrici ortogonali $ {\ bf O} $. Non riesco a ricordare il resto, ma cercherò di prendere in prestito il libro in questi giorni. In questo link puoi trovarne alcuni.
- @Procrastinator Grazie. Nota che i due esempi che offri sono entrambi casi speciali della definizione generale che ho fornito: la simmetria centrale genera un gruppo di due elementi di isometrie e le simmetrie sferiche sono anche un sottogruppo di tutte le isometrie. La ” simmetria ellittica ” nel collegamento è una simmetria sferica dopo una trasformazione affine, quindi esemplifica il fenomeno che ho indicato con il lognormale esempio. Le ” simmetrie angolari ” formano nuovamente un gruppo di isometrie. La ” simmetria semispazio ” [sic] non è una simmetria, ma consente partenze discrete da essa: che ‘ è nuovo.
Risposta
La risposta dipenderà da cosa intendi per simmetria. In fisica la nozione di simmetria è fondamentale ed è diventata molto generale. La simmetria è qualsiasi operazione che lascia il sistema invariato.Nel caso di una distribuzione di probabilità, questo potrebbe essere tradotto in qualsiasi operazione $ X \ in X “$ che restituisca la stessa probabilità $ P (X) = P (X”) $.
Nel caso semplice del primo esempio ti riferisci alla simmetria di riflessione sul massimo. Se la distribuzione fosse sinusoidale, potresti avere la condizione da $ X \ a X + \ lambda $, dove $ \ lambda $ è la lunghezza donda o il periodo. Allora $ P (X) = P (X + \ lambda) $ e si adatterebbe comunque a una definizione più generale di simmetria.