Se una palla da bowling si muove con una certa velocità iniziale mentre scivola, quanto si sposterà prima di iniziare a rotolare una volta che ha sperimentato staticità attrito?
$ \ ddot {x} = \ mu_ {kf} g $
E cè anche una coppia dallattrito cinetico sulla palla (R = raggio della palla )
$$ mg \ mu_ {kf} R = \ frac {2mR ^ 2} {5} \ ddot {\ theta} \ implica \ ddot {\ theta} = \ frac {5g \ mu_ { kf}} {2R} $$
La condizione per rotolare senza scivolare è $ v = R \ omega $ e dal momento in cui la palla entra in contatto con il suolo, la velocità trasversale diminuisce mentre la velocità angolare aumenta fino a punto in cui sono uguali. Non sono sicuro di cosa dovrei fare a questo punto, perché tutto ciò che provo non sembra funzionare.
$$ \ ddot {x} = v \ frac {dv} {dx} = \ mu_ {kf} g \ implica v ^ 2 = (2 \ mu_ {kf} g) x + v_o ^ 2 $$
Non so bene cosa fare con questa equazione differenziale che non “t coinvolgere $ \ theta $ in modo da poterlo utilizzare nellequazione lineare del moto. Ho provato a usare il tempo, ma non so come questo potrebbe aiutare, e langolo stesso è inutile.
$$ \ ddot {\ theta} = \ frac {5g \ mu_ {kf}} {2R} $$ Non posso “dire $ x = R \ theta $ a causa dello slittamento
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- (Interessante a parte): una volta che inizia a rotolare senza scivolare, non si ferma mai! (a meno che non includiamo la resistenza allaria e / o la deformazione del materiale )
Risposta
Diciamo che quando la tua palla tocca per la prima volta il terreno, ha velocità iniziale $ v_0 $ e velocità angolare iniziale $ \ omega_0 = 0 $.
Hai una coppia costante applicata alla palla, quindi il tuo diff Lequazione erenziale è molto facile da integrare per ottenere:
$$ \ dot {\ theta} = \ omega = \ frac {5g \ mu} {2R} t + \ omega_0 $$
Per lo spostamento, vai direttamente con la legge di Newton, $ \ ddot {x} = – \ mu g $, che ha anche una forza costante e può essere facilmente integrata una volta per ottenere
$$ \ dot {x} = v = v_0 – \ mu gt $$
Da qui dovresti essere in grado di usare la tua condizione $ v = \ omega R $ per scoprire quanto tempo impiegherà la palla a inizia a rotolare senza scivolare e, una volta che hai tempo, integra nuovamente lo spostamento per ottenere
$$ x = v_0 t – \ frac {1} {2} \ mu gt ^ 2, $$
che ti darà la distanza percorsa inserendo il tempo che hai calcolato in precedenza.
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- Grazie mille. Ha molto senso quando lo dici