Background: un mio amico si diverte (come immagino molti lo facciano) cercando di prevedere i risultati dei playoff di hockey. Cerca di indovinare la squadra vincente in ogni incontro e il numero di partite necessarie per vincere (per chiunque non abbia familiarità con lhockey NHL una serie è decisa da un migliore di 7). Il suo record questanno dopo 3 round di gioco (8 + 4 + 2 = 14 al meglio di 7 matchups) è 7 corretto / 7 errato per la squadra vincente e 4 corretto / 10 errato per numero di partite (considera corretto solo il numero di partite se ha anche scelto la squadra vincente).
Abbiamo scherzato sul fatto che non sta facendo meglio che indovinare ciecamente sulla questione delle squadre, ma che sta sostanzialmente battendo le probabilità se si presume che le probabilità per una serie di giochi da 4, 5, 6 o 7 sono uguali (ci si aspetterebbe una percentuale di successo del 12,5%, è al 28,5%).
Questo ci ha fatto chiedere quali siano effettivamente le probabilità per ogni numero possibile di giochi. Penso di aver risolto il problema, ma voglio risolvere alcune questioni in sospeso poiché parte del mio approccio consisteva nello scarabocchiare a forza bruta su un grande pezzo di carta. La mia ipotesi di base è che il risultato di ogni partita sia casuale con probabilità $ \ frac {1} {2} $ per ciascuna squadra di vincere.
La mia conclusione è che:
$$ \ rm P (4 \; giochi) = \ frac {2} {2 ^ 4} = 12,5 \% \\ P (5 \; giochi) = \ frac {8} {2 ^ 5} = 25 \% \\ P (6 \; giochi) = \ frac {20} {2 ^ 6} = 31,25 \% \\ P (7 \; giochi) = \ frac {40} {2 ^ 7} = 31,25 \% $$
Ho guidato la mia analisi basandomi sullidea che una serie di 4 giochi dovrebbe avere una probabilità di $ \ frac {2} {2 ^ 4} $, analoga alle probabilità di lanciare 4 monete e di ottenere entrambe testa o 4 code. I denominatori erano abbastanza facili da capire da lì. Ho ottenuto i numeratori contando il numero di combinazioni “legali” (WWLWWLL sarebbe illegale poiché la serie sarebbe stata decisa dopo 5 partite, le ultime 2 partite non sarebbero state giocate) dei risultati per un dato numero di partite:
Possible 4 game series (2): WWWW LLLL Possible 5 game series (8): LWWWW WLLLL WLWWW LWLLL WWLWW LLWLL WWWLW LLLWL Possible 6 game series (20): LLWWWW WWLLLL LWLWWW WLWLLL LWWLWW WLLWLL LWWWLW WLLLWL WLLWWW LWWLLL WLWLWW LWLWLL WLWWLW LWLLWL WWLLWW LLWWLL WWLWLW LLWLWL WWWLLW LLLWWL Possible 7 game series (40): LLLWWWW WWWLLLL LLWLWWW WWLWLLL LLWWLWW WWLLWLL LLWWWLW WWLLLWL LWLLWWW WLWWLLL LWLWLWW WLWLWLL LWLWWLW WLWLLWL LWWLLWW WLLWWLL LWWLWLW WLLWLWL LWWWLLW WLLLWWL WLLLWWW LWWWLLL WLLWLWW LWWLWLL WLLWWLW LWWLLWL WLWLLWW LWLWWLL WLWLWLW LWLWLWL WLWWLLW LWLLWWL WWLLLWW LLWWWLL WWLLWLW LLWWLWL WWLWLLW LLWLWWL WWWLLLW LLLWWWL Che cosè “un metodo non a forza bruta per derivare i numeratori? Penso che possa esserci una definizione ricorsiva, in modo che $ \ rm P (5 \; giochi) $ possa essere definito in termini di $ \ rm P (4 \; giochi) $ e così via, e / o che possa coinvolgere combinazioni come $ \ rm (probabilità \; di \; almeno \; 4/7 \; W) \ volte (probabilità \; di \; legale \; combinazione \; di \; 7 \ ; risultati) $, ma sono “un po bloccato. Inizialmente ho pensato ad alcune idee che coinvolgono $ \ left (^ n_k \ right) $ ma sembra che funzioni solo se lordine dei risultati non ha importanza.
È interessante notare che un altro amico comune ha tirato fuori alcune statistiche su 7 serie di giochi giocate (NHL, NBA, MLB 1905-2013, serie 1220) e ha inventato:
4 Game Series - 202 times - 16.5% 5 Game Series - 320 times - 26.23% 6 Game Series - 384 times - 31.47% 7 Game Series - 314 times - 25.73% Quello “s in realtà un buon abbinamento (almeno dal punto di vista del mio astronomo!). Immagino che la discrepanza derivi dal fatto che ogni partita è stata sbilanciata verso una vittoria per una squadra o per laltra (in effetti, le squadre di solito sono teste di serie al primo turno in modo che la squadra qualificata leader giochi la squadra che si è appena qualificata, il secondo posto gioca il penultimo, e così via … e la maggior parte delle partite è al primo turno).
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- Non sono particolarmente attivo su CV.SE, quindi potrebbe essere necessario ricodificare.
Answer
Per un squadra per vincere [la serie] nella partita N, devono aver vinto esattamente 3 delle prime partite N-1. Per la partita sette, ci sono $ \ binom {6} {3} = 20 $ modi per farlo. Ci sono 2 possibili esiti per la settima partita e 20 possibili combinazioni di vittorie per ciascuna delle squadre che possono vincere, quindi 40 possibili esiti. Per una serie di N-partite una serie al meglio di sette per finire N partite, il numero di possibilità è $ 2 \ binom {N-1} {3} $.
In effetti lordine non ha importanza, io Se hai già indicato il numero di partite giocate. Solo lultima partita è importante e il vincitore deve avere 3 vittorie precedenti, in qualsiasi ordine.
Commenti
- Per una serie di partite N non dovrebbe ' t $ 2 (^ {N-1} _ {{\ rm floor} (N / 2)}) $ o qualcosa del genere? Supponendo che ci sia un numero dispari di partite, il che è sensato.
- Stavo usando N come numero di partite giocate al meglio di sette. Per esempio. per N = 4, $ 2 \ binom {3} {3} = 2 $ ti dà il numero di possibili modi in cui la serie può finire in 4 partite. cioè. per ogni squadra, il numero di modi per scegliere 3 vittorie su 3 partite.
- Sì, le possibilità di una serie di partite M decisa in N partite, dovrebbero essere $ 2 \ binom {N-1} { \ mathrm {floor} (M / 2)} $. Questo funzionerà ancora se ' è presente un numero pari di partite, se le serie in parità non sono considerate decise.
- Se vuoi essere realistico, la probabilità di la vittoria non dovrebbe essere 0,5 per ogni squadra per ogni partita. Potrebbe esserci un vantaggio del ghiaccio domestico come esempio.
- @MichaelChernick true, e lo tocco un po nellultimo paragrafo della domanda, ma 0,5 come punto di partenza che può essere regolato in seguito è ragionevole .
Risposta
Un modo alternativo di guardare sarebbe la distribuzione binomiale: hai bisogno di x = 3 (esattamente 3 successi) in n = 6 (tracce), quindi se la probabilità di vincere una partita è 0,5 (entrambe le squadre ugualmente simili), il binomio direbbe P (x = 3) = 6C3 * (.5) ^ 3 * (.6 ) ^ 3 = .3125 Ciò significherebbe il 31,25% di possibilità di andare a 7 serie di giochi. E la probabilità di vincere nella settima partita, seguirebbe un binomio negativo, quante scie = 7 per 4 successi, 7-1 C 4-1 * (.5) ^ 3 * (.5) ^ 4