Per iniziare è un problema di compiti a casa, piuttosto lungo.
Una particella di massa pari a 208 volte la massa di un elettrone si muove in unorbita circolare attorno a un nucleo di carica $ + 3e $. Supponendo che il modello di Bohr dellatomo sia applicabile a questo sistema,
- Deriva unespressione per il raggio dellorbita di $ n $ th Bohr.
- Trova il valore di $ n $ per cui il raggio è uguale ai raggi della prima orbita dellidrogeno.
- Trova la lunghezza donda della radiazione emessa quando la particella rotante salta dalla terza orbita alla prima.
Ora, ho fatto la prima parte e ho ottenuto la risposta corretta. Ecco cosa ho fatto.
Supponiamo che la massa della particella in rivoluzione sia $ M $, la sua velocità sia $ v $ e $ M = 208 m_ {e} $. La forza elettrostatica è la forza centripeta Quindi
$$ \ begin {align} \ frac {Mv ^ 2} {r} & = \ frac {(ke) (3e)} { r ^ 2} \\ v ^ 2 & = \ frac {3ke ^ 2} {208m_ {e} r} \ end {align} $$
Dal modello di Bohr,
$$ m_ {e} vr = \ frac {nh} {2 \ pi} $$
dove $ h $ è la costante di Planck. Pertanto,
$$ v = \ frac {nh} {2 \ pi m_ {e} r} $$
Quadrato,
$$ v ^ 2 = \ frac {n ^ 2h ^ 2} {4 (\ pi) ^ 2 (m_e) ^ 2r ^ 2} $$
Uguagliando le due equazioni che contengono $ v ^ 2 $ ,
$$ \ frac {n ^ 2h ^ 2} {4 (\ pi) ^ 2 (m_e) ^ 2r ^ 2} = \ frac {3ke ^ 2} {208m_ {e} r} $$
Dopo aver risolto per $ r $, otteniamo qualcosa di simile,
$$ r = \ frac {n ^ 2h ^ 2} {4 (\ pi) ^ { 2} 3ke ^ {2} 208m_e} $$
Tutto quanto sopra è corretto. Il problema è nella seconda e terza parte; quando metto $ r = \ pu {0.53 * 10 ^ {- 10} m} $ NON ottengo la risposta richiesta. Per avvicinarmi alla terza parte, ho iniziato con lequazione di Rydberg standard,
$$ \ frac {1} {\ lambda} = \ mathcal {R} Z ^ 2 \ left (\ frac {1} { n_f ^ 2} – \ frac {1} {n_i ^ 2} \ right) $$
Ho inserito ogni valore, $ n_i = 3, n_f = 1, Z = 3 $; ma ancora una volta la risposta non è stata corretta.
La risposta alla seconda parte è 25 $ (n = 25) $; e alla terza è 55,2 picometri.
Risposta
Per rispondere alla seconda parte:
Conosciamo $ M = 208m_e $ , $ Z = 3 $ , $ \ hbar = \ frac {h} {2 \ pi} $ .
La prima parte contiene un errore, così comè
$$ \ begin {align} & & \ frac {Mv ^ 2} {r } & = \ mathcal {k_e} \ cdot \ frac {(\ mathcal {e}) (Z \ mathcal {e})} {r ^ 2} \\ & & Mvr & = n \ hbar \\ \ implica & & r & = \ frac {n ^ 2 \ hbar ^ 2} {M \ cdot \ mathcal {k_e} \ cdot Z \ mathcal {e} ^ 2} \ end {align} $$
Conosciamo anche il raggio di Bohr:
$$ a_0 = \ mathcal {k_e} \ cdot \ frac {\ hbar ^ 2} {m_e \ cdot \ mathcal {e} ^ 2} \ approx 5 {,} 29 \ cdot 10 ^ {-11} \ mathrm {m} $$
Quindi possiamo scrivere e cancellare:
$$ \ begin {align} & & r & = a_0 \\ & & \ frac {\ color {\ green} {\ hbar ^ 2}} {\ color {\ red} {\ mathcal {k_e}} \ cdot m_e \ cdot \ color {\ navy} {\ mathcal {e} ^ 2}} & = \ frac {n ^ 2 \ color {\ green} {\ hbar ^ 2} } {M \ cdot \ color {\ red} {\ mathcal {k_e}} \ cdot Z \ color {\ navy} {\ mathcal {e} ^ 2}} \\ \ quindi & & Z \ frac {M} {m_e} & = n ^ 2 \\ \ quindi & & n & = \ sqrt {Z \ cdot208} \ approx25 \ end {align} $$
La terza parte:
La formula di Rydberg è data come
$$ \ frac {1} {\ lambda _ {\ mathrm {vac}}} = \ mathcal {R} Z ^ 2 \ left (\ frac {1} {n_1 ^ 2} – \ frac {1} {n_2 ^ 2} \ right) $$
con il Costante di Rydberg $ \ mathcal {R} $ definita per un fotone emesso da un elettrone. Assumeremo che la massa del nucleo sia 7 unità atomiche (tre protoni + quattro neutroni). Tenendo conto che $ m_p \ approx 1836m_e $ , arriviamo a
$$ \ mathcal {R} = \ frac {\ mathcal {R} _ \ infty} {1+ \ frac {M} {T}} = \ frac {\ mathcal {R} _ \ infty} {1+ \ frac {208m_e} {7 \ cdot1836m_e}} $$
Ora la costante di Rydberg deve essere modificata per includere la massa della particella:
$$ \ mathcal {R} _ \ infty = \ frac {M e ^ 4} {8 c \ varepsilon_0 ^ 2 h ^ 3} = 208 \ mathcal {R} _ {m_e, \ infty} $$
Con $ \ mathcal {R} _ {m_e, \ infty} = 1.097 \ cdot 10 ^ 7 ~ \ mathrm {m ^ {- 1}} $ ( wikipedia ), sono arrivato a $ \ lambda_ \ mathrm {vac} = 55,6 ~ \ mathrm {pm} $ .
Senza tenere conto della massa ridotta, cioè $ \ mathcal {R} \ approx \ mathcal {R} _ \ infty $ sono arrivato a $ \ lambda_ \ mathrm {vac} = 54.8 ~ \ mathrm {pm} $ .
Entrambi i valori sono ragionevolmente vicini alla soluzione fornita.
(Se la domanda riguardava veramente il muone, il rapporto di peso più accurato è 206,77 e le lunghezze donda corrispondenti 55,1 pm e 56,0 pm.)