Trovare il raggio dellorbita utilizzando il modello di Bohr e lequazione di Rydberg

Per iniziare è un problema di compiti a casa, piuttosto lungo.

Una particella di massa pari a 208 volte la massa di un elettrone si muove in unorbita circolare attorno a un nucleo di carica $ + 3e $. Supponendo che il modello di Bohr dellatomo sia applicabile a questo sistema,

  1. Deriva unespressione per il raggio dellorbita di $ n $ th Bohr.
  2. Trova il valore di $ n $ per cui il raggio è uguale ai raggi della prima orbita dellidrogeno.
  3. Trova la lunghezza donda della radiazione emessa quando la particella rotante salta dalla terza orbita alla prima.

Ora, ho fatto la prima parte e ho ottenuto la risposta corretta. Ecco cosa ho fatto.

Supponiamo che la massa della particella in rivoluzione sia $ M $, la sua velocità sia $ v $ e $ M = 208 m_ {e} $. La forza elettrostatica è la forza centripeta Quindi

$$ \ begin {align} \ frac {Mv ^ 2} {r} & = \ frac {(ke) (3e)} { r ^ 2} \\ v ^ 2 & = \ frac {3ke ^ 2} {208m_ {e} r} \ end {align} $$

Dal modello di Bohr,

$$ m_ {e} vr = \ frac {nh} {2 \ pi} $$

dove $ h $ è la costante di Planck. Pertanto,

$$ v = \ frac {nh} {2 \ pi m_ {e} r} $$

Quadrato,

$$ v ^ 2 = \ frac {n ^ 2h ^ 2} {4 (\ pi) ^ 2 (m_e) ^ 2r ^ 2} $$

Uguagliando le due equazioni che contengono $ v ^ 2 $ ,

$$ \ frac {n ^ 2h ^ 2} {4 (\ pi) ^ 2 (m_e) ^ 2r ^ 2} = \ frac {3ke ^ 2} {208m_ {e} r} $$

Dopo aver risolto per $ r $, otteniamo qualcosa di simile,

$$ r = \ frac {n ^ 2h ^ 2} {4 (\ pi) ^ { 2} 3ke ^ {2} 208m_e} $$

Tutto quanto sopra è corretto. Il problema è nella seconda e terza parte; quando metto $ r = \ pu {0.53 * 10 ^ {- 10} m} $ NON ottengo la risposta richiesta. Per avvicinarmi alla terza parte, ho iniziato con lequazione di Rydberg standard,

$$ \ frac {1} {\ lambda} = \ mathcal {R} Z ^ 2 \ left (\ frac {1} { n_f ^ 2} – \ frac {1} {n_i ^ 2} \ right) $$

Ho inserito ogni valore, $ n_i = 3, n_f = 1, Z = 3 $; ma ancora una volta la risposta non è stata corretta.

La risposta alla seconda parte è 25 $ (n = 25) $; e alla terza è 55,2 picometri.

Risposta

Per rispondere alla seconda parte:

Conosciamo $ M = 208m_e $ , $ Z = 3 $ , $ \ hbar = \ frac {h} {2 \ pi} $ .

La prima parte contiene un errore, così comè

$$ \ begin {align} & & \ frac {Mv ^ 2} {r } & = \ mathcal {k_e} \ cdot \ frac {(\ mathcal {e}) (Z \ mathcal {e})} {r ^ 2} \\ & & Mvr & = n \ hbar \\ \ implica & & r & = \ frac {n ^ 2 \ hbar ^ 2} {M \ cdot \ mathcal {k_e} \ cdot Z \ mathcal {e} ^ 2} \ end {align} $$

Conosciamo anche il raggio di Bohr:

$$ a_0 = \ mathcal {k_e} \ cdot \ frac {\ hbar ^ 2} {m_e \ cdot \ mathcal {e} ^ 2} \ approx 5 {,} 29 \ cdot 10 ^ {-11} \ mathrm {m} $$

Quindi possiamo scrivere e cancellare:

$$ \ begin {align} & & r & = a_0 \\ & & \ frac {\ color {\ green} {\ hbar ^ 2}} {\ color {\ red} {\ mathcal {k_e}} \ cdot m_e \ cdot \ color {\ navy} {\ mathcal {e} ^ 2}} & = \ frac {n ^ 2 \ color {\ green} {\ hbar ^ 2} } {M \ cdot \ color {\ red} {\ mathcal {k_e}} \ cdot Z \ color {\ navy} {\ mathcal {e} ^ 2}} \\ \ quindi & & Z \ frac {M} {m_e} & = n ^ 2 \\ \ quindi & & n & = \ sqrt {Z \ cdot208} \ approx25 \ end {align} $$

La terza parte:

La formula di Rydberg è data come

$$ \ frac {1} {\ lambda _ {\ mathrm {vac}}} = \ mathcal {R} Z ^ 2 \ left (\ frac {1} {n_1 ^ 2} – \ frac {1} {n_2 ^ 2} \ right) $$

con il Costante di Rydberg $ \ mathcal {R} $ definita per un fotone emesso da un elettrone. Assumeremo che la massa del nucleo sia 7 unità atomiche (tre protoni + quattro neutroni). Tenendo conto che $ m_p \ approx 1836m_e $ , arriviamo a

$$ \ mathcal {R} = \ frac {\ mathcal {R} _ \ infty} {1+ \ frac {M} {T}} = \ frac {\ mathcal {R} _ \ infty} {1+ \ frac {208m_e} {7 \ cdot1836m_e}} $$

Ora la costante di Rydberg deve essere modificata per includere la massa della particella:

$$ \ mathcal {R} _ \ infty = \ frac {M e ^ 4} {8 c \ varepsilon_0 ^ 2 h ^ 3} = 208 \ mathcal {R} _ {m_e, \ infty} $$

Con $ \ mathcal {R} _ {m_e, \ infty} = 1.097 \ cdot 10 ^ 7 ~ \ mathrm {m ^ {- 1}} $ ( wikipedia ), sono arrivato a $ \ lambda_ \ mathrm {vac} = 55,6 ~ \ mathrm {pm} $ .

Senza tenere conto della massa ridotta, cioè $ \ mathcal {R} \ approx \ mathcal {R} _ \ infty $ sono arrivato a $ \ lambda_ \ mathrm {vac} = 54.8 ~ \ mathrm {pm} $ .

Entrambi i valori sono ragionevolmente vicini alla soluzione fornita.

(Se la domanda riguardava veramente il muone, il rapporto di peso più accurato è 206,77 e le lunghezze donda corrispondenti 55,1 pm e 56,0 pm.)

Lascia un commento

Il tuo indirizzo email non sarà pubblicato. I campi obbligatori sono contrassegnati *