Questa domanda ha già una risposta qui :
Commenti
- hai qualche idea su questo tu stesso? $ \ text {Var} (X) \ text {Var} (Y) $ sarebbe sbagliato – considera una costante quasi sicuramente diversa da zero $ X $
- No signore. Conosco Var (XY) = E (X ^ 2 Y ^ 2) – (E (XY)) ^ 2 e E (XY) = E (X) E (Y) poiché X, Y sono indipendenti ma non ho idea di X ^ 2 e Y ^ 2 sono indipendenti o meno.
- Se $ X $ e $ Y $ sono indipendenti, anche $ X ^ 2 $ e $ Y ^ 2 $ sono indipendenti e $ E [X ^ 2Y ^ 2] = E [X ^ 2] E [Y ^ 2] $
- Caso di prodotto generale qui: stats.stackexchange.com/questions/52646 / … (nella domanda viene fornito un prodotto di 2)
- Grazie mille Glen_b
Risposta
Puoi seguire i commenti di Henry per arrivare alla risposta. Tuttavia, un altro modo per arrivare alla risposta è usare il fatto che se $ X $ e $ Y $ sono indipendenti, quindi $ Y | X = Y $ e $ X | Y = X $ .
Per aspettative ripetute ed espressioni di varianza
\ begin {align *} \ text {Var} (XY) & = \ text {Var} [\, \ text {E} (XY | X) \,] + \ text {E} [\, \ text {Var} (XY | X) \,] \\ & = \ text {Var} [\, X \, \ text {E} (Y | X) \,] + E [\, X ^ 2 \, \ text {Var} (Y | X ) \,] \\ & = \ text {Var} [\, X \, \ text {E} (Y) \,] + E [\, X ^ 2 \ , \ text {Var} (Y) \,] \\ & = E (Y) ^ 2 \, \ text {Var} (X) + \ text {Var} ( Y) E (X ^ 2) \ ,. \ end {align *}
Commenti
- $ E (Y) ^ 2 \, \ text {Var} (X) + \ text {Var} (Y) E (X ^ 2) $ potrebbe essere corretto, ma è stranamente non simmetrico come $ E (Y ^ 2) \, \ text {Var} (X) + \ text {Var } (Y) E (X) ^ 2 $ sarebbe. Avrei pensato $ \ text {Var} (X) E (Y) ^ 2 + \ text {Var} (Y) E (X) ^ 2 + \ text {Var} (X) \ text {Var} (Y ) $ sarebbe più naturale mentre $ \ text {Var} (X) E (Y ^ 2) + \ text {Var} (Y) E (X ^ 2) – \ text {Var} (X) \ text {Var } (Y) $ sarebbe anche vero
- @Henry Well, usando $ E (X ^ 2) = Var (X) + E (X) ^ 2 $, otteniamo $ Var (XY) = E (Y) ^ 2Var (X) + Var (Y) Var (X) + Var (Y) E (X) ^ 2 $. Questo ' è simmetrico.