O tom senoidal de 1 kHz significa $ \ sin (2 (1000) \ pi t) $ ou $ \ sin (2 (500) \ pi t) $ ?
Comentários
- Oh cara, nós realmente precisávamos de 3 respostas para responder isso ???
- @MattL. por que não quatro? 😉
- @MattL. Mas observe que uma resposta não responde à pergunta " $ \ sin (2 (1000) \ pi t) $ ou $ \ sin (2 (500 ) \ pi t) $ " em tudo.
- @DilipSarwate lendo seu comentário pensei que era eu, pois reconheci que usei cos em vez da função sin :-)) Mas vejo que é ' é a outra que não menciona se ' s $ 500 \ pi $ ou $ 1000 \ pi $ 😉
Resposta
As funções trigonométricas “não sabem” o que é um Hertz e também não se importam. A única coisa que eles sabem é que um círculo completo é $ 2 \ pi $ radianos. Se este círculo termina em dias, horas, picossegundos ou uma fatia dele representa o ângulo que uma força é aplicada a alguma alavanca, é irrelevante.
$ 2 \ pi \ omega $ expresso em Hertz, denota uma taxa . Uma taxa de dar a volta em um círculo no intervalo de tempo de um segundo. $ y = \ cos (2 \ pi 1 t) $ onde $ t $ está em segundos , teria concluído 1 círculo, composto de $ 2 \ pi $ radianos , no momento em que $ t $ passa para 1.
Para fazê-lo concluir o círculo mais rápido, multiplicamos a “passagem do tempo” (denotado por $ t $ ) por algum número $ f $ .
Portanto, um O tom de 1kHz é $ 2 \ pi 1000 $ radianos por segundo .
Espero que isso ajude.
Comentários
- Não sei por que o downvote … Eu ' vou desfazê-lo.
- Nem eu. Eu fiz o mesmo.
- @MattL. & cedrondawg Obrigado por me avisar. Acabei de voltar e descobrir uma comoção surpreendente em torno dessa questão no fim de semana 🙂
Resposta
$ 1 $ kHz denota a frequência, ou seja, o inverso do período do sinal. Você tem $ T = 0,001 $ segundos e como o período da sinusóide é $ 2 \ pi $ ,
$$ 2 \ pi \ cdot1000 \ cdot T = 2 \ pi. $$
Resposta
Quando o ângulo $ \ theta $ da função trigonométrica $ \ sin (\ theta) $ abrange um intervalo de $ 2 \ pi $ , faz uma revolução e faz $ f_0 $ revoluções em um segundo (ou seja, $ f_0 $ Hz), o ângulo deve abranger $ 2 \ pi f_0 $ intervalo para $ t \ in [0,1] $ , cuja expressão matemática será:
$$ x (t) = \ sin (\ omega_0 t) = \ sin (2 \ pi f_0 t). $$
Com seu exemplo particular $ f_0 = 1000 $ Hz (1k Hz), então você h ave: $$ x (t) = \ sin (\ omega_0 t) = \ sin (2 \ pi (1000) t). $$
Observe que, para simplificar, a relação entre a frequência angular $ \ omega $ em radianos (por segundo) e a frequência $ f $ em Hertz é:
$$ \ boxed {\ omega = 2 \ pi f} $$
Comentários
- Sua última equação pode ser expressa completamente em unidades (não dimensões) como: $$ \ frac {radianos} {segundo} = \ frac {radianos} {ciclo} \ cdot \ frac {ciclos} {segundo} $$
- @CedronDawg Isso ' é muito bom. Eu acredito que você também deve adicionar este comentário a outras respostas. Será útil para seus leitores também.
- Mas eles não ' t declararam a equação quase tão claramente quanto você. Eu dei a você um voto positivo.