Est-ce quune tonalité sinusoïdale de 1 kHz signifie $ \ sin (2 (1000) \ pi t) $ ou $ \ sin (2 (500) \ pi t) $ ?
Commentaires
- Oh mec, avons-nous vraiment besoin de 3 réponses pour répondre à ça ???
- @MattL. pourquoi pas quatre? 😉
- @MattL. Mais notez quune seule réponse ne répond pas à la question " $ \ sin (2 (1000) \ pi t) $ ou $ \ sin (2 (500 ) \ pi t) $ " du tout.
- @DilipSarwate en lisant votre commentaire, je pensais que cétait moi, car jai reconnu que javais utilisé cos plutôt que la fonction sin :-)) Mais je vois que cest ' que cest lautre qui ne mentionne pas si elle ' s 500 $ \ pi $ ou 1 000 $ \ pi $ 😉
Réponse
Les fonctions trigonométriques « ne savent pas » ce quest un Hertz et elles sen moquent non plus. La seule chose quils savent, cest quun cercle complet correspond à $ 2 \ pi $ radians. Que ce cercle se termine en jours, heures, picosecondes ou une tranche de celui-ci représente langle auquel une force est appliquée à un levier, cela na pas dimportance.
$ 2 \ pi \ omega $ exprimé en Hertz, indique un rate . taux de faire le tour dun cercle en lespace dune seconde. $ y = \ cos (2 \ pi 1 t) $ où $ t $ est dans secondes , aurait conclu 1 cercle, composé de 2 $ \ pi $ radians , au moment où $ t $ coche à 1.
Pour faire conclure le cercle plus rapidement, nous multiplions le « passage du temps » (noté par $ t $ ) par un certain nombre $ f $ .
Par conséquent, un La tonalité de 1 kHz correspond à 2 $ \ pi 1 000 $ radians par seconde .
Jespère que cela vous aidera.
Commentaires
- Je ne sais pas pourquoi le vote défavorable … Je ' je lannulerai.
- Moi non plus. Jai fait de même.
- @MattL. & cedrondawg Merci de men avoir informé. Je viens de rentrer et de découvrir une agitation surprenante autour de cette question ce week-end 🙂
Réponse
$ 1 $ kHz désigne la fréquence, cest-à-dire linverse de la période du signal. Vous disposez de $ T = 0,001 $ secondes et comme la période de la sinusoïde est 2 $ \ pi $ ,
$$ 2 \ pi \ cdot1000 \ cdot T = 2 \ pi. $$
Réponse
Lorsque langle $ \ theta $ de la fonction trigonométrique $ \ sin (\ theta) $ couvre une plage de $ 2 \ pi $ , il fait une révolution et de faire $ f_0 $ révolutions en une seconde (cest-à-dire $ f_0 $ Hz), langle doit sétendre sur 2 $ \ pi f_0 $ plage pour $ t \ in [0,1] $ , dont lexpression mathématique sera:
$$ x (t) = \ sin (\ omega_0 t) = \ sin (2 \ pi f_0 t). $$
Avec votre exemple particulier $ f_0 = 1000 $ Hz (1k Hz), alors vous h ave: $$ x (t) = \ sin (\ omega_0 t) = \ sin (2 \ pi (1000) t). $$
Notez que pour plus de simplicité, la relation entre la fréquence angulaire $ \ omega $ en radians (par seconde) et la fréquence $ f $ en Hertz est:
$$ \ boxed {\ omega = 2 \ pi f} $$
Commentaires
- Votre dernière équation peut être exprimée complètement en unités (pas en dimensions) comme: $$ \ frac {radians} {second} = \ frac {radians} {cycle} \ cdot \ frac {cycles} {second} $$
- @CedronDawg That ' est très gentil. Je crois que vous devriez également ajouter ce commentaire à dautres réponses. Cela sera également utile pour leurs lecteurs.
- Mais ils nont ' pas énoncé léquation aussi clairement que vous. Je vous ai donné un vote favorable.