Znamená sinusový tón 1 kHz $ \ sin (2 (1000) \ pi t) $ nebo $ \ sin (2 (500) \ pi t) $ ?
Komentáře
- Ó člověče, opravdu jsme potřebovali 3 odpovědi, abychom na to mohli odpovědět ???
- @MattL. proč ne čtyři? 😉
- @MattL. Pamatujte však, že jedna odpověď neodpovídá na otázku " $ \ sin (2 (1000) \ pi t) $ nebo $ \ sin (2 (500 ) \ pi t) $ " vůbec.
- @DilipSarwate při čtení komentáře Myslel jsem, že jsem to já, protože jsem poznal, že jsem použil cos spíše než funkce sin :-)) Ale vidím, že je to ' ten druhý, který nezmiňuje, zda ' s $ 500 \ pi $ nebo $ 1000 \ pi $ 😉
Odpověď
Trigonometrické funkce „nevědí“, co je Hertz, a je jim to také jedno. Jediné, co vědí, je, že celý kruh jsou radiány $ 2 \ pi $ . Ať už tento kruh končí dny, hodiny, pikosekundy nebo jeho část, představuje úhel, kterým síla působí na nějakou páku, je nepodstatné.
$ 2 \ pi \ Omega $ vyjádřená v Hertzech označuje sazbu . rychlost obcházení kruhu v časovém rozpětí sekundy. $ y = \ cos (2 \ pi 1 t) $ , kde $ t $ je v sekund by uzavřel 1 kruh složený z $ 2 \ pi $ radiánů , tím, než $ t $ zaškrtne na 1.
Abychom kruh uzavřeli rychleji, vynásobíme „plynutí času“ (označeno $ t $ ) o nějaké číslo $ f $ .
Proto 1kHz tón je $ 2 \ pi 1000 $ radiánů za sekundu .
Doufám, že to pomůže.
Komentáře
- Nejsem si jistý, proč downvote … Já ' to zruším.
- Ani já. Udělal jsem totéž.
- @MattL. & cedrondawg Děkuji, že jste mi dali vědět. Právě jsem se vrátil a během víkendu jsem kolem této otázky objevil překvapivý rozruch 🙂
Odpověď
$ 1 $ kHz označuje frekvenci, tj. inverzní k periodě signálu. Máte $ T = 0,001 $ sekund a období sinusoidy je $ 2 \ pi $ ,
$$ 2 \ pi \ cdot1000 \ cdot T = 2 \ pi. $$
Odpověď
Když úhel $ \ theta $ trigonometrické funkce $ \ sin (\ theta) $ překlenuje rozsah $ 2 \ pi $ , udělá jednu revoluci a vytvoří $ f_0 $ otáčky za sekundu (tj. $ f_0 $ Hz), úhel by měl překlenout $ 2 \ pi f_0 $ rozsah pro $ t \ in [0,1] $ , jehož matematický výraz bude:
$$ x (t) = \ sin (\ omega_0 t) = \ sin (2 \ pi f_0 t). $$
S konkrétním příkladem $ f_0 = 1000 $ Hz (1k Hz), pak vy h ave: $$ x (t) = \ sin (\ omega_0 t) = \ sin (2 \ pi (1000) t). $$
Všimněte si, že pro jednoduchost je vztah mezi úhlovou frekvencí $ \ omega $ v radiánech (za sekundu) a frekvence $ f $ v Hertzech je:
$$ \ boxed {\ omega = 2 \ pi f} $$
Komentáře
- Lze vyjádřit vaši poslední rovnici zcela v jednotkách (ne v dimenzích) jako: $$ \ frac {radians} {second} = \ frac {radians} {cycle} \ cdot \ frac {cykly} {second} $$
- @CedronDawg That ' je velmi pěkný. Věřím, že byste také měli přidat tento komentář k dalším odpovědím. Bude to užitečné i pro jejich čtenáře.
- Ale rovnici nestanovili ' téměř tak jasně jako vy. Dal jsem vám souhlas.