Bedeutet 1 kHz Sinus $ \ sin (2 (1000) \ pi t) $ oder $ \ sin (2 (500) \ pi t) $ ?
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- Oh Mann, brauchten wir wirklich 3 Antworten, um dies zu beantworten ???
- @MattL. warum nicht vier? 😉
- @MattL. Beachten Sie jedoch, dass eine Antwort die Frage " $ \ sin (2 (1000) \ pi t) $ oder $ \ sin (2 (500) nicht beantwortet ) \ pi t) $ " überhaupt.
- @DilipSarwate Lesen Sie Kommentar Ich dachte, ich wäre es, als ich erkannte, dass ich cos
statt der sin -Funktion :-)) Aber ich sehe, dass es ' das andere ist, das nicht erwähnt, ob es ' s $ 500 \ pi $ oder $ 1000 \ pi $ 😉
Antwort
Die trigonometrischen Funktionen „wissen nicht“, was ein Hertz ist, und es ist ihnen auch egal. Das einzige, was sie wissen, ist, dass ein voller Kreis $ 2 \ pi $ Bogenmaß ist. Ob dieser Kreis in Tagen, Stunden, Pikosekunden endet oder ein Teil davon den Winkel darstellt, auf den eine Kraft auf einen Hebel ausgeübt wird, ist unerheblich.
$ 2 \ pi \ Omega $ , ausgedrückt in Hertz, bezeichnet eine Rate . Eine Rate zum Umrunden eines Kreises im Zeitraum von einer Sekunde. $ y = \ cos (2 \ pi 1 t) $ wobei $ t $ in Sekunden hätte 1 Kreis geschlossen, der aus $ 2 \ pi $ Bogenmaß besteht Bis $ t $ auf 1 tickt.
Damit der Kreis schneller geschlossen wird, multiplizieren wir den „Zeitablauf“ (bezeichnet) durch $ t $ ) durch eine Zahl $ f $ .
Daher a 1-kHz-Ton ist $ 2 \ pi 1000 $ Bogenmaß pro Sekunde .
Hoffe, das hilft.
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- Ich bin mir nicht sicher, warum die Ablehnung … Ich ' mache es rückgängig.
- Ich auch nicht. Ich habe das gleiche getan.
- @MattL. & cedrondawg Vielen Dank, dass Sie mich informiert haben. Ich bin gerade zurückgekommen und habe am Wochenende eine überraschende Aufregung um diese Frage entdeckt 🙂
Antwort
$ 1 $ kHz bezeichnet die Frequenz, dh die Umkehrung der Periode des Signals. Sie haben $ T = 0,001 $ Sekunden und als Periode der Sinuskurve $ 2 \ pi $ ,
$$ 2 \ pi \ cdot1000 \ cdot T = 2 \ pi. $$
Antwort
Wenn der Winkel $ \ theta $ der trigonometrischen Funktion $ \ sin (\ theta) $ überspannt einen $ 2 \ pi $ -Bereich, macht eine Umdrehung und macht $ f_0 $ Umdrehungen in einer Sekunde (dh $ f_0 $ Hz), der Winkel sollte $ 2 \ pi umfassen f_0 $ Bereich für $ t \ in [0,1] $ , dessen mathematischer Ausdruck lautet:
$$ x (t) = \ sin (\ omega_0 t) = \ sin (2 \ pi f_0 t). $$
Mit Ihrem speziellen Beispiel $ f_0 = 1000 $ Hz (1k Hz), dann h ave: $$ x (t) = \ sin (\ omega_0 t) = \ sin (2 \ pi (1000) t). $$
Beachten Sie, dass der Einfachheit halber die Beziehung zwischen der Winkelfrequenz $ \ omega $ im Bogenmaß (pro Sekunde) und die Häufigkeit $ f $ in Hertz ist:
$$ \ boxed {\ omega = 2 \ pi f} $$
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- Ihre letzte Gleichung kann ausgedrückt werden vollständig in Einheiten (nicht Dimensionen) als: $$ \ frac {Radiant} {Sekunde} = \ frac {Radiant} {Zyklus} \ cdot \ frac {Zyklen} {Sekunde} $$
- @CedronDawg That ' ist sehr nett. Ich glaube, Sie sollten diesen Kommentar auch anderen Antworten hinzufügen. Dies wird auch für ihre Leser nützlich sein.
- Aber sie haben ' die Gleichung nicht annähernd so klar angegeben wie Sie. Ich habe dir eine Gegenstimme gegeben.